JavaScript is required

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 2}}{3}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 2025 = 0\).

a) Số đo góc giữa đường thẳng \(\Delta \)mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng \(90^\circ \).

b) Biết hình chiếu của \(O\) lên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) \(H\left( {3; - 1;2} \right)\), \(\alpha \)là số đo góc giữa mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và đường thẳng \(\Delta \), khi đó \({\rm{cos}}\alpha = \frac{1}{{14}}\).

c) Đường thẳng \({d_1}\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) \(\left( {Oxy} \right)\). Gọi \(\beta \) là góc giữa \({d_1}\) và mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\]. Khi đó \(\beta > 30^\circ \).

d) Đường thẳng \({d_2}\) vuông góc với \(\left( P \right)\) tạo với \[\left( Q \right):x + my - 3 = 0\] một góc \(30^\circ \). Khi đó tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) bằng \(\frac{{ - 8}}{5}\).

Trả lời:

Đáp án đúng:


Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần phân tích từng phương án:
  • **Phương án a):** Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u} = (-1, 2, 3)$ và vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n} = (1, 2, -1)$. Góc $\alpha$ giữa $\Delta$ và $(P)$ được tính bởi $\sin \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|} = \frac{|-1 + 4 - 3|}{\sqrt{14}\sqrt{6}} = 0$. Vậy $\alpha = 0^\circ$, phương án này sai.
  • **Phương án b):** Cần thông tin về mặt phẳng $(\alpha)$ để xác định hình chiếu và góc. Thiếu thông tin, không thể kiểm tra.
  • **Phương án c):** Tìm giao tuyến $d_1$ của $(P)$ và $(Oxy)$. Phương trình $(Oxy)$ là $z = 0$. Vậy $d_1$ có phương trình $\begin{cases} x + 2y - z + 2025 = 0 \\ z = 0 \end{cases} \Rightarrow x + 2y + 2025 = 0$. Vectơ chỉ phương của $d_1$ là $\vec{u_1} = (2, -1, 0)$. Vectơ pháp tuyến của $(Oxz)$ là $\vec{j} = (0, 1, 0)$. Góc $\beta$ giữa $d_1$ và $(Oxz)$ được tính bởi $\sin \beta = \frac{|\vec{u_1} \cdot \vec{j}|}{|\vec{u_1}||\vec{j}|} = \frac{|-1|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.447$. Vậy $\beta = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}}) \approx 26.57^\circ < 30^\circ$, phương án này sai.
  • **Phương án d):** Đường thẳng $d_2$ vuông góc với $(P)$ nên có vectơ chỉ phương $\vec{u_2} = (1, 2, -1)$. Vectơ pháp tuyến của $(Q)$ là $\vec{n_Q} = (1, m, 0)$. Góc giữa $d_2$ và $(Q)$ là $30^\circ$. Vậy $\sin 30^\circ = \frac{1}{2} = \frac{|\vec{u_2} \cdot \vec{n_Q}|}{|\vec{u_2}||\vec{n_Q}|} = \frac{|1 + 2m|}{\sqrt{6}\sqrt{1+m^2}}$. Bình phương hai vế: $\frac{1}{4} = \frac{(1+2m)^2}{6(1+m^2)} \Rightarrow 6 + 6m^2 = 4(1 + 4m + 4m^2) \Rightarrow 6 + 6m^2 = 4 + 16m + 16m^2 \Rightarrow 10m^2 + 16m - 2 = 0 \Rightarrow 5m^2 + 8m - 1 = 0$. Tổng các nghiệm $m_1 + m_2 = -\frac{8}{5}$. Phương án này đúng.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan