Câu hỏi:
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 2}}{3}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 2025 = 0\).
a) Số đo góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng \(90^\circ \).
b) Biết hình chiếu của \(O\) lên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(H\left( {3; - 1;2} \right)\), \(\alpha \)là số đo góc giữa mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và đường thẳng \(\Delta \), khi đó \({\rm{cos}}\alpha = \frac{1}{{14}}\).
c) Đường thẳng \({d_1}\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\). Gọi \(\beta \) là góc giữa \({d_1}\) và mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\]. Khi đó \(\beta > 30^\circ \).
d) Đường thẳng \({d_2}\) vuông góc với \(\left( P \right)\) tạo với \[\left( Q \right):x + my - 3 = 0\] một góc \(30^\circ \). Khi đó tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) bằng \(\frac{{ - 8}}{5}\).
Đáp án đúng:
- **Phương án a):** Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u} = (-1, 2, 3)$ và vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n} = (1, 2, -1)$. Góc $\alpha$ giữa $\Delta$ và $(P)$ được tính bởi $\sin \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|} = \frac{|-1 + 4 - 3|}{\sqrt{14}\sqrt{6}} = 0$. Vậy $\alpha = 0^\circ$, phương án này sai.
- **Phương án b):** Cần thông tin về mặt phẳng $(\alpha)$ để xác định hình chiếu và góc. Thiếu thông tin, không thể kiểm tra.
- **Phương án c):** Tìm giao tuyến $d_1$ của $(P)$ và $(Oxy)$. Phương trình $(Oxy)$ là $z = 0$. Vậy $d_1$ có phương trình $\begin{cases} x + 2y - z + 2025 = 0 \\ z = 0 \end{cases} \Rightarrow x + 2y + 2025 = 0$. Vectơ chỉ phương của $d_1$ là $\vec{u_1} = (2, -1, 0)$. Vectơ pháp tuyến của $(Oxz)$ là $\vec{j} = (0, 1, 0)$. Góc $\beta$ giữa $d_1$ và $(Oxz)$ được tính bởi $\sin \beta = \frac{|\vec{u_1} \cdot \vec{j}|}{|\vec{u_1}||\vec{j}|} = \frac{|-1|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.447$. Vậy $\beta = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}}) \approx 26.57^\circ < 30^\circ$, phương án này sai.
- **Phương án d):** Đường thẳng $d_2$ vuông góc với $(P)$ nên có vectơ chỉ phương $\vec{u_2} = (1, 2, -1)$. Vectơ pháp tuyến của $(Q)$ là $\vec{n_Q} = (1, m, 0)$. Góc giữa $d_2$ và $(Q)$ là $30^\circ$. Vậy $\sin 30^\circ = \frac{1}{2} = \frac{|\vec{u_2} \cdot \vec{n_Q}|}{|\vec{u_2}||\vec{n_Q}|} = \frac{|1 + 2m|}{\sqrt{6}\sqrt{1+m^2}}$. Bình phương hai vế: $\frac{1}{4} = \frac{(1+2m)^2}{6(1+m^2)} \Rightarrow 6 + 6m^2 = 4(1 + 4m + 4m^2) \Rightarrow 6 + 6m^2 = 4 + 16m + 16m^2 \Rightarrow 10m^2 + 16m - 2 = 0 \Rightarrow 5m^2 + 8m - 1 = 0$. Tổng các nghiệm $m_1 + m_2 = -\frac{8}{5}$. Phương án này đúng.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
