Câu hỏi:
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 1\,;\,\,2\,;\,\,4} \right)\), \(B\left( { - 1\,;\,\, - 2\,;\,\,2} \right)\) và điểm \(M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,1} \right)\) sao cho tam giác \(MAB\) vuông tại \(M\) và diện tích tam giác \(MAB\) nhỏ nhất. Khi đó \({a^3} + {b^3}\) bằng bao nhiêu?
Trả lời:
Đáp án đúng:
Ta có $\overrightarrow{MA} = (-1-a; 2-b; 3)$ và $\overrightarrow{MB} = (-1-a; -2-b; 1)$.
Tam giác $MAB$ vuông tại $M$ nên $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$.
Suy ra $(-1-a)^2 + (2-b)(-2-b) + 3 = 0 \Leftrightarrow (a+1)^2 + (b-2)(b+2) + 3 = 0 \Leftrightarrow a^2 + 2a + 1 + b^2 - 4 + 3 = 0 \Leftrightarrow a^2 + 2a + b^2 = 0 \Leftrightarrow (a+1)^2 + b^2 = 1$.
Vậy $M$ thuộc đường tròn tâm $I(-1;0)$, bán kính $R=1$.
Diện tích tam giác $MAB$ là $S = \frac{1}{2}MA \cdot MB = \frac{1}{2}MA \cdot \sqrt{AB^2 - MA^2}$ (do $MA^2 + MB^2 = AB^2$).
$AB = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Để diện tích $MAB$ nhỏ nhất thì $MA$ phải nhỏ nhất. Mà $MA = \sqrt{(a+1)^2 + (b-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + (b-2)^2 + 9} = \sqrt{(b-2)^2 + 10}$.
Để $MA$ nhỏ nhất thì $(b-2)^2$ phải nhỏ nhất, tức $b=2$. Khi đó $(a+1)^2 + 2^2 = 1 \Leftrightarrow (a+1)^2 = -3$ (vô lý).
Ta có $(a+1)^2 = 1 - b^2$, nên $MA = \sqrt{1-b^2 + (b-2)^2 + 9} = \sqrt{1-b^2 + b^2 - 4b + 4 + 9} = \sqrt{14 - 4b}$.
$MA$ nhỏ nhất khi $b$ lớn nhất. Mà $(a+1)^2 + b^2 = 1$ nên $-1 \le b \le 1$. Vậy $b=1$.
$(a+1)^2 + 1^2 = 1 \Leftrightarrow (a+1)^2 = 0 \Leftrightarrow a=-1$.
Vậy $a^3 + b^3 = (-1)^3 + 1^3 = -1+1 = 0$.
Tam giác $MAB$ vuông tại $M$ nên $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$.
Suy ra $(-1-a)^2 + (2-b)(-2-b) + 3 = 0 \Leftrightarrow (a+1)^2 + (b-2)(b+2) + 3 = 0 \Leftrightarrow a^2 + 2a + 1 + b^2 - 4 + 3 = 0 \Leftrightarrow a^2 + 2a + b^2 = 0 \Leftrightarrow (a+1)^2 + b^2 = 1$.
Vậy $M$ thuộc đường tròn tâm $I(-1;0)$, bán kính $R=1$.
Diện tích tam giác $MAB$ là $S = \frac{1}{2}MA \cdot MB = \frac{1}{2}MA \cdot \sqrt{AB^2 - MA^2}$ (do $MA^2 + MB^2 = AB^2$).
$AB = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Để diện tích $MAB$ nhỏ nhất thì $MA$ phải nhỏ nhất. Mà $MA = \sqrt{(a+1)^2 + (b-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + (b-2)^2 + 9} = \sqrt{(b-2)^2 + 10}$.
Để $MA$ nhỏ nhất thì $(b-2)^2$ phải nhỏ nhất, tức $b=2$. Khi đó $(a+1)^2 + 2^2 = 1 \Leftrightarrow (a+1)^2 = -3$ (vô lý).
Ta có $(a+1)^2 = 1 - b^2$, nên $MA = \sqrt{1-b^2 + (b-2)^2 + 9} = \sqrt{1-b^2 + b^2 - 4b + 4 + 9} = \sqrt{14 - 4b}$.
$MA$ nhỏ nhất khi $b$ lớn nhất. Mà $(a+1)^2 + b^2 = 1$ nên $-1 \le b \le 1$. Vậy $b=1$.
$(a+1)^2 + 1^2 = 1 \Leftrightarrow (a+1)^2 = 0 \Leftrightarrow a=-1$.
Vậy $a^3 + b^3 = (-1)^3 + 1^3 = -1+1 = 0$.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
10/09/2025
0 lượt thi
0 / 22
Câu hỏi liên quan

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
