Câu hỏi:

Ta có $u_n = \frac{7}{12}$

$\Leftrightarrow \frac{2n+5}{5n-4} = \frac{7}{12}$

$\Leftrightarrow 12(2n+5) = 7(5n-4)$

$\Leftrightarrow 24n + 60 = 35n - 28$

$\Leftrightarrow 11n = 88$

$\Leftrightarrow n = 8

Vậy $\frac{7}{12}$ là số hạng thứ 8 của dãy số.

a) $v_1 = u_1 - 3 = 8 - 3 = 5$. Vậy a) đúng.
b) $v_{n+1} = u_{n+1} - 3 = 4u_n - 9 - 3 = 4u_n - 12 = 4(u_n - 3) = 4v_n$. Vậy $(v_n)$ là cấp số nhân với công bội $q = 4$, không phải $q = -3$. Vậy b) sai.
c) Vì $(v_n)$ là cấp số nhân với $v_1 = 5$ và $q = 4$, nên $v_n = v_1 \cdot q^{n-1} = 5 \cdot 4^{n-1}$. Vậy c) sai.
d) $u_n = v_n + 3 = 3 + 5 \cdot 4^{n-1}$. Do đó, d) đúng. Vậy câu d sửa lại sẽ đúng.

Ta xét từng đáp án:

• Đáp án a: $T(4) = 35000 * 4 = 140000$. Vậy a đúng.


• Đáp án b: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} T(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} 35000x = 35000 * 4 = 140000 \ne 120000$. Vậy b sai.


• Đáp án c: Để $T(x)$ liên tục tại $x = 4$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4^-} T(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4^+} T(x) = T(4)$. Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4^-} T(x) = 120000$ và $T(4) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4^+} T(x) = 140000$. Vậy $T(x)$ không liên tục tại $x = 4$. Vậy c sai.


• Đáp án d: Với $x > 4$, $T(x) = 35000x$ là hàm bậc nhất, nên liên tục trên $[4; + \infty )$. Vậy d đúng.

Vậy đáp án đúng là d.

Ta có $2\tan a - \cot a = 1 \Leftrightarrow 2\tan a - \frac{1}{\tan a} = 1 \Leftrightarrow 2\tan^2 a - \tan a - 1 = 0$.

Giải phương trình bậc hai theo $\tan a$, ta được $\tan a = 1$ hoặc $\tan a = -\frac{1}{2}$.

Vì $-\frac{\pi}{2} < a < 0$ nên $\tan a < 0$, suy ra $\tan a = -\frac{1}{2}$.

Khi đó, ta có:

$P = \frac{{\tan \left( {6\pi - a} \right) - 2\cot \left( {3\pi + a} \right)}}{{3\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} + a} \right)}} = \frac{{\tan \left( { - a} \right) - 2\cot \left( {a} \right)}}{{3\left( { - \cot a} \right)}} = \frac{{ - \tan a - 2\cot a}}{{ - 3\cot a}} = \frac{{ - \tan a - \frac{2}{{\tan a}}}}{{ - \frac{3}{{\tan a}}}} = \frac{{ - \left( { - \frac{1}{2}} \right) - \frac{2}{{ - \frac{1}{2}}}}}{{\frac{{ - 3}}{{ - \frac{1}{2}}}}} = \frac{{\frac{1}{2} + 4}}{6} = \frac{{\frac{9}{2}}}{6} = \frac{9}{{12}} = \frac{3}{4}$

$P = \frac{\tan(-a) - 2\cot(a)}{3\tan(\frac{3\pi}{2} + a)} = \frac{-\tan(a) - 2\cot(a)}{-3\cot(a)} = \frac{-\tan(a) - \frac{2}{\tan(a)}}{-\frac{3}{\tan(a)}}$

Thay $\tan(a) = -\frac{1}{2}$:

$P = \frac{\frac{1}{2} - 2(-2)}{-3(-2)} = \frac{\frac{1}{2} + 4}{6} = \frac{\frac{9}{2}}{6} = \frac{3}{4}$

$2\tan a - \cot a = 1 \implies 2\tan a - \frac{1}{\tan a} = 1 \implies 2\tan^2 a - \tan a - 1 = 0$

$\implies (2\tan a + 1)(\tan a - 1) = 0 \implies \tan a = -\frac{1}{2}$ (vì $-\frac{\pi}{2} < a < 0$)

$P = \frac{\tan(6\pi - a) - 2\cot(3\pi + a)}{3\tan(\frac{3\pi}{2} + a)} = \frac{\tan(-a) - 2\cot(a)}{3(-\cot(a))} = \frac{-\tan(a) - 2\cot(a)}{-3\cot(a)} = \frac{-\tan(a) - \frac{2}{\tan(a)}}{-\frac{3}{\tan(a)}} = \frac{\frac{1}{2} - 2(-2)}{-3(-2)} = \frac{\frac{9}{2}}{6} = \frac{3}{4}$

Kết quả không khớp với đáp án nào. Kiểm tra lại đề bài và tính toán.

$P = \frac{{\tan(6\pi - a) - 2\cot(3\pi + a)}}{{3\tan(\frac{3\pi}{2} + a)}} = \frac{{\tan(-a) - 2\cot(a)}}{{3(-\cot(a))}} = \frac{{-\tan(a) - \frac{2}{{\tan(a)}}}}{{-\frac{3}{{\tan(a)}}}} = \frac{{-\left(-\frac{1}{2}\right) - \frac{2}{{-\frac{1}{2}}}}}}{{-\frac{3}{{-\frac{1}{2}}}}} = \frac{{\frac{1}{2} + 4}}{6} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

$P = \frac{\tan(-a) - 2\cot(a)}{-3\cot(a)} = \frac{-\tan a - 2\cot a}{-3\cot a} = \frac{-\tan a - \frac{2}{\tan a}}{-\frac{3}{\tan a}}$

$\tan a = -\frac{1}{2}$

$P = \frac{\frac{1}{2} + 4}{6} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

Nếu đề bài là $P = \frac{{\tan \left( {6\pi - a} \right) + 2\cot \left( {3\pi + a} \right)}}{{3\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} + a} \right)}}$

$P = \frac{-\tan(a) + 2\cot(a)}{-3\cot(a)} = \frac{\frac{1}{2} - 4}{-6} = \frac{-\frac{7}{2}}{-6} = \frac{7}{12}$

Nếu đề là $2\tan a + \cot a = 1$ thì $2\tan^2 a - \tan a + 1 = 0$ (vô nghiệm)

Nếu $2\cot a - \tan a = 1$ thì $\frac{2}{\tan a} - \tan a = 1 \iff 2 - \tan^2 a - \tan a = 0 \iff \tan^2 a + \tan a - 2 = 0 \iff (\tan a + 2)(\tan a - 1) = 0$

$\tan a = -2 \implies P = \frac{-\tan a - \frac{2}{\tan a}}{-\frac{3}{\tan a}} = \frac{2 - 2(-\frac{1}{2})}{-3(-\frac{1}{2})} = \frac{3}{\frac{3}{2}} = 2$

$\tan a = 1$ thì không thỏa mãn $-\frac{\pi}{2} < a < 0$.

Vậy, có vẻ như không có đáp án nào đúng. Tuy nhiên, đáp án gần đúng nhất là 1.

Để giải quyết bài toán này, ta cần biến đổi biểu thức $P = 4\sin 3x \sin 2x \cos x$ thành dạng tổng các hàm cosin.

Ta có công thức biến đổi tích thành tổng: $\sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos(a-b) - \cos(a+b)]$.

Áp dụng công thức này, ta có:
$4\sin 3x \sin 2x \cos x = 4(\frac{1}{2} [\cos(3x-2x) - \cos(3x+2x)])\cos x = 2(\cos x - \cos 5x)\cos x = 2\cos^2 x - 2\cos 5x \cos x$.

Tiếp tục sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: $\cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos(a-b) + \cos(a+b)]$.

Ta có: $2\cos 5x \cos x = 2(\frac{1}{2} [\cos(5x-x) + \cos(5x+x)]) = \cos 4x + \cos 6x$.

Vậy, $P = 2\cos^2 x - (\cos 4x + \cos 6x)$.

Sử dụng công thức $2\cos^2 x = 1 + \cos 2x$, ta có:
$P = (1 + \cos 2x) - \cos 4x - \cos 6x = \cos 2x - \cos 4x - \cos 6x + 1$.

Vậy, $a = 1, b = -1, c = -1, d = 1$.

Do đó, $a + b + c + d = 1 - 1 - 1 + 1 = 0$.

Vì không có đáp án nào phù hợp, câu trả lời là NA.