Câu hỏi:

Ta có $2\tan a - \cot a = 1 \Leftrightarrow 2\tan a - \frac{1}{\tan a} = 1 \Leftrightarrow 2\tan^2 a - \tan a - 1 = 0$.

Giải phương trình bậc hai theo $\tan a$, ta được $\tan a = 1$ hoặc $\tan a = -\frac{1}{2}$.

Vì $-\frac{\pi}{2} < a < 0$ nên $\tan a < 0$, suy ra $\tan a = -\frac{1}{2}$.

Khi đó, ta có:

$P = \frac{{\tan \left( {6\pi - a} \right) - 2\cot \left( {3\pi + a} \right)}}{{3\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} + a} \right)}} = \frac{{\tan \left( { - a} \right) - 2\cot \left( {a} \right)}}{{3\left( { - \cot a} \right)}} = \frac{{ - \tan a - 2\cot a}}{{ - 3\cot a}} = \frac{{ - \tan a - \frac{2}{{\tan a}}}}{{ - \frac{3}{{\tan a}}}} = \frac{{ - \left( { - \frac{1}{2}} \right) - \frac{2}{{ - \frac{1}{2}}}}}{{\frac{{ - 3}}{{ - \frac{1}{2}}}}} = \frac{{\frac{1}{2} + 4}}{6} = \frac{{\frac{9}{2}}}{6} = \frac{9}{{12}} = \frac{3}{4}$

$P = \frac{\tan(-a) - 2\cot(a)}{3\tan(\frac{3\pi}{2} + a)} = \frac{-\tan(a) - 2\cot(a)}{-3\cot(a)} = \frac{-\tan(a) - \frac{2}{\tan(a)}}{-\frac{3}{\tan(a)}}$

Thay $\tan(a) = -\frac{1}{2}$:

$P = \frac{\frac{1}{2} - 2(-2)}{-3(-2)} = \frac{\frac{1}{2} + 4}{6} = \frac{\frac{9}{2}}{6} = \frac{3}{4}$

$2\tan a - \cot a = 1 \implies 2\tan a - \frac{1}{\tan a} = 1 \implies 2\tan^2 a - \tan a - 1 = 0$

$\implies (2\tan a + 1)(\tan a - 1) = 0 \implies \tan a = -\frac{1}{2}$ (vì $-\frac{\pi}{2} < a < 0$)

$P = \frac{\tan(6\pi - a) - 2\cot(3\pi + a)}{3\tan(\frac{3\pi}{2} + a)} = \frac{\tan(-a) - 2\cot(a)}{3(-\cot(a))} = \frac{-\tan(a) - 2\cot(a)}{-3\cot(a)} = \frac{-\tan(a) - \frac{2}{\tan(a)}}{-\frac{3}{\tan(a)}} = \frac{\frac{1}{2} - 2(-2)}{-3(-2)} = \frac{\frac{9}{2}}{6} = \frac{3}{4}$

Kết quả không khớp với đáp án nào. Kiểm tra lại đề bài và tính toán.

$P = \frac{{\tan(6\pi - a) - 2\cot(3\pi + a)}}{{3\tan(\frac{3\pi}{2} + a)}} = \frac{{\tan(-a) - 2\cot(a)}}{{3(-\cot(a))}} = \frac{{-\tan(a) - \frac{2}{{\tan(a)}}}}{{-\frac{3}{{\tan(a)}}}} = \frac{{-\left(-\frac{1}{2}\right) - \frac{2}{{-\frac{1}{2}}}}}}{{-\frac{3}{{-\frac{1}{2}}}}} = \frac{{\frac{1}{2} + 4}}{6} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

$P = \frac{\tan(-a) - 2\cot(a)}{-3\cot(a)} = \frac{-\tan a - 2\cot a}{-3\cot a} = \frac{-\tan a - \frac{2}{\tan a}}{-\frac{3}{\tan a}}$

$\tan a = -\frac{1}{2}$

$P = \frac{\frac{1}{2} + 4}{6} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

Nếu đề bài là $P = \frac{{\tan \left( {6\pi - a} \right) + 2\cot \left( {3\pi + a} \right)}}{{3\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} + a} \right)}}$

$P = \frac{-\tan(a) + 2\cot(a)}{-3\cot(a)} = \frac{\frac{1}{2} - 4}{-6} = \frac{-\frac{7}{2}}{-6} = \frac{7}{12}$

Nếu đề là $2\tan a + \cot a = 1$ thì $2\tan^2 a - \tan a + 1 = 0$ (vô nghiệm)

Nếu $2\cot a - \tan a = 1$ thì $\frac{2}{\tan a} - \tan a = 1 \iff 2 - \tan^2 a - \tan a = 0 \iff \tan^2 a + \tan a - 2 = 0 \iff (\tan a + 2)(\tan a - 1) = 0$

$\tan a = -2 \implies P = \frac{-\tan a - \frac{2}{\tan a}}{-\frac{3}{\tan a}} = \frac{2 - 2(-\frac{1}{2})}{-3(-\frac{1}{2})} = \frac{3}{\frac{3}{2}} = 2$

$\tan a = 1$ thì không thỏa mãn $-\frac{\pi}{2} < a < 0$.

Vậy, có vẻ như không có đáp án nào đúng. Tuy nhiên, đáp án gần đúng nhất là 1.

Để giải quyết bài toán này, ta cần biến đổi biểu thức $P = 4\sin 3x \sin 2x \cos x$ thành dạng tổng các hàm cosin.

Ta có công thức biến đổi tích thành tổng: $\sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos(a-b) - \cos(a+b)]$.

Áp dụng công thức này, ta có:
$4\sin 3x \sin 2x \cos x = 4(\frac{1}{2} [\cos(3x-2x) - \cos(3x+2x)])\cos x = 2(\cos x - \cos 5x)\cos x = 2\cos^2 x - 2\cos 5x \cos x$.

Tiếp tục sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: $\cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos(a-b) + \cos(a+b)]$.

Ta có: $2\cos 5x \cos x = 2(\frac{1}{2} [\cos(5x-x) + \cos(5x+x)]) = \cos 4x + \cos 6x$.

Vậy, $P = 2\cos^2 x - (\cos 4x + \cos 6x)$.

Sử dụng công thức $2\cos^2 x = 1 + \cos 2x$, ta có:
$P = (1 + \cos 2x) - \cos 4x - \cos 6x = \cos 2x - \cos 4x - \cos 6x + 1$.

Vậy, $a = 1, b = -1, c = -1, d = 1$.

Do đó, $a + b + c + d = 1 - 1 - 1 + 1 = 0$.

Vì không có đáp án nào phù hợp, câu trả lời là NA.

Ta có $u_n = \frac{mn - 1}{n+1}$. Để dãy $(u_n)$ là dãy giảm thì $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n$. $u_{n+1} < u_n \Leftrightarrow \frac{m(n+1) - 1}{n+2} < \frac{mn - 1}{n+1} \Leftrightarrow (m(n+1) - 1)(n+1) < (mn - 1)(n+2) \Leftrightarrow (mn + m - 1)(n+1) < (mn - 1)(n+2) \Leftrightarrow mn^2 + mn + mn + m - n - 1 < mn^2 + 2mn - n - 2 \Leftrightarrow mn^2 + 2mn + m - n - 1 < mn^2 + 2mn - n - 2 \Leftrightarrow m - 1 < -2 \Leftrightarrow m < -1 + 1 \Leftrightarrow m < -1 \Leftrightarrow m < -1 + 1 \Leftrightarrow m < -1$. Biến đổi tương đương trên chỉ đúng khi $n+1 > 0$ và $n+2 > 0$ luôn đúng với $n \ge 1$. $\frac{m(n+1)-1}{n+2} - \frac{mn-1}{n+1} < 0 \Leftrightarrow \frac{(m(n+1)-1)(n+1) - (mn-1)(n+2)}{(n+2)(n+1)} < 0 \Leftrightarrow \frac{mn^2 + 2mn +m - n -1 - (mn^2 + 2mn -n -2)}{(n+2)(n+1)} < 0 \Leftrightarrow \frac{m+1}{(n+2)(n+1)} < 0 $. Vì $(n+2)(n+1) > 0$ với mọi $n$ nên $m+1 < 0 \Leftrightarrow m < -1$. Giá trị nguyên lớn nhất của $m$ là $-2$. Suy ra không có đáp án nào đúng. Tuy nhiên, kiểm tra lại với $m=2$: $u_n = \frac{2n-1}{n+1} = \frac{2(n+1) - 3}{n+1} = 2 - \frac{3}{n+1}$. Khi $n$ tăng, $u_n$ tăng. Vậy $m=2$ không thỏa mãn. Kiểm tra với $m=1$: $u_n = \frac{n-1}{n+1} = \frac{n+1-2}{n+1} = 1 - \frac{2}{n+1}$. Khi $n$ tăng, $u_n$ tăng. Vậy $m=1$ không thỏa mãn. Vậy không có đáp án nào đúng.

Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x + 1 - \sqrt {5x + 1} }}{{x - \sqrt {4x - 3} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(x + 1 - \sqrt {5x + 1} )(x + 1 + \sqrt {5x + 1} )(x + \sqrt {4x - 3} )}}{{(x - \sqrt {4x - 3} )(x + \sqrt {4x - 3} )(x + 1 + \sqrt {5x + 1} )}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{((x + 1)^2 - (5x + 1))(x + \sqrt {4x - 3} )}}{{(x^2 - (4x - 3))(x + 1 + \sqrt {5x + 1} )}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(x^2 + 2x + 1 - 5x - 1)(x + \sqrt {4x - 3} )}}{{(x^2 - 4x + 3)(x + 1 + \sqrt {5x + 1} )}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(x^2 - 3x)(x + \sqrt {4x - 3} )}}{{(x - 1)(x - 3)(x + 1 + \sqrt {5x + 1} )}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x(x - 3)(x + \sqrt {4x - 3} )}}{{(x - 1)(x - 3)(x + 1 + \sqrt {5x + 1} )}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x(x + \sqrt {4x - 3} )}}{{(x - 1)(x + 1 + \sqrt {5x + 1} )}}$
$= \frac{{3(3 + \sqrt {12 - 3} )}}{{(3 - 1)(3 + 1 + \sqrt {15 + 1} )}} = \frac{{3(3 + 3)}}{{2(4 + 4)}} = \frac{{3.6}}{{2.8}} = \frac{{18}}{{16}} = \frac{9}{8}$
Vậy $a = 9, b = 8 \Rightarrow a - b = 9 - 8 = 1$.
Không có đáp án đúng.

a) Để tính nhiệt độ lúc 19 giờ, ta thay $t = 19$ vào công thức:
$h(19) = 31 + 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{12}}\left( {19 - 9} \right)} \right] = 31 + 3\sin \left( {\frac{{10\pi }}{{12}}} \right) = 31 + 3\sin \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = 31 + 3\left( {\frac{1}{2}} \right) = 31 + 1.5 = 32.5$
Vậy, nhiệt độ lúc 19 giờ là $32.5^\circ C$.

b) Nhiệt độ cao nhất khi $\sin \left[ {\frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right)} \right] = 1$.
Suy ra $\frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi$, với $k$ là số nguyên.
$\frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) = \frac{\pi }{2}$
$t - 9 = 6$
$t = 15$
Vậy, nhiệt độ cao nhất vào lúc 15 giờ.