Câu hỏi:

Ta có:
$S = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + \dots + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ$
$S = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \frac{1}{2} + \cos 160^\circ + (-1)$
$S = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + \cos 80^\circ + \cos 100^\circ + \cos 120^\circ + \cos 140^\circ + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ$
$S = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \frac{1}{2} + \cos (180^\circ - 20^\circ) + (-1)$
$S = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + \cos 80^\circ + \cos 100^\circ + \cos 120^\circ + \cos 140^\circ + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ$
Nhân cả hai vế cho $2\sin 10^\circ$:
$2\sin 10^\circ S = 2\sin 10^\circ \cos 20^\circ + 2\sin 10^\circ \cos 40^\circ + 2\sin 10^\circ \cos 60^\circ + ... + 2\sin 10^\circ \cos 160^\circ + 2\sin 10^\circ \cos 180^\circ$
Sử dụng công thức $2\sin a \cos b = \sin(a+b) + \sin(a-b)$:
$2\sin 10^\circ S = (\sin 30^\circ - \sin 10^\circ) + (\sin 50^\circ - \sin 30^\circ) + (\sin 70^\circ - \sin 50^\circ) + ... + (\sin 170^\circ - \sin 150^\circ) + (\sin 190^\circ - \sin 170^\circ)$
$2\sin 10^\circ S = -\sin 10^\circ + \sin 190^\circ = -\sin 10^\circ - \sin 10^\circ = -2\sin 10^\circ$
$S = -1$
Hoặc có thể giải nhanh bằng:
$\cos(x) + \cos(x+d) + \cos(x+2d) + ... + \cos(x + (n-1)d) = \frac{\sin(\frac{nd}{2})}{\sin(\frac{d}{2})}\cos(x + \frac{(n-1)d}{2})$
Trong trường hợp này: $x = 20^\circ, d = 20^\circ, n = 9$
$S = \frac{\sin(\frac{9 \cdot 20^\circ}{2})}{\sin(\frac{20^\circ}{2})}\cos(20^\circ + \frac{8 \cdot 20^\circ}{2}) = \frac{\sin(90^\circ)}{\sin(10^\circ)}\cos(100^\circ) = \frac{\cos(100^\circ)}{\sin(10^\circ)} = \frac{-\sin(10^\circ)}{\sin(10^\circ)} = -1$

Để hàm số xác định thì cần các điều kiện sau:

• $2x + 4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2$
• $x \geq 0$ (do có $\sqrt{x}$)
  Do đó $x \geq 0$
• $x - \sqrt{x} - 2 \neq 0$

Xét $x - \sqrt{x} - 2 = 0$. Đặt $t = \sqrt{x} \geq 0$, ta có $t^2 - t - 2 = 0$
$\Leftrightarrow (t - 2)(t + 1) = 0$
$\Leftrightarrow \begin{cases} t = 2 \\ t = -1 (L) \end{cases}$
Với $t = 2$ thì $\sqrt{x} = 2 \Leftrightarrow x = 4$
Vậy $x \geq 0$ và $x \neq 4$. Kết hợp với $x\geq -2$ ta có $x\geq 0$ và $x \neq 4$
Tuy nhiên cần chú ý điều kiện $x\neq 1$ vì $\sqrt{x}$ tồn tại. $x - \sqrt{x} - 2 = 1 - 1 - 2 = -2\neq 0$ vậy $x=1$ không phải là nghiệm của mẫu thức. Vậy tập xác định là $D = [-2; +\infty) \setminus \{1\}$

Để xác định loại tam giác, ta so sánh bình phương cạnh lớn nhất với tổng bình phương hai cạnh còn lại.

• $BC^2 = 7^2 = 49$
• $AB^2 + CA^2 = 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89$

Vì $BC^2 < AB^2 + CA^2$ (tức $49 < 89$), nên tam giác ABC là tam giác nhọn.

Ta có:

• $\overrightarrow{CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$
• $\overrightarrow{NB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$

Suy ra: $\overrightarrow{CM} - \overrightarrow{NB} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$
Do đó: $|\overrightarrow{CM} - \overrightarrow{NB}| = |\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}| = \frac{1}{2}BA = \frac{1}{2}a$

Ta có:

• $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\alpha$ nằm trong góc phần tư thứ II.
• Trong góc phần tư thứ II, $\sin(\alpha) > 0$ và $\cos(\alpha) < 0$.
• $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha) < 0$.
• $\cot(180^\circ + \alpha) = \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} < 0$ (vì $\cos(\alpha) < 0$ và $\sin(\alpha) > 0$).

Do đó, $M = \sin(90^\circ - \alpha).\cot(180^\circ + \alpha) = \cos(\alpha).\cot(\alpha) > 0$ (vì tích của hai số âm là một số dương).
Vậy, M > 0.