Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài \(500m\), biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng \(5m,\) khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là \(40m\). Bề dày nhịp cầu không đổi là \(20cm\). Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu \({{m}^{3}}\)? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Ta đặt hệ trục vào căn phòng sao cho có hai bức tường là mặt \(\left( Oxz \right)\), \(\left( Oyz \right)\), và nền là \(\left( Oxy \right)\).

Vậy bài toán dẫn đến việc tìm đường kính của mặt cầu tiếp xúc với \(3\) mặt phẳng toạ độ và chứa điểm \(M\left( 17\,;\,18\,;\,21 \right)\).

Ta có thể gọi phương trình mặt cầu là:

\(\left( S \right):{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}}\), với \(a,b,c,R>0\).

Do mặt cầu tiếp xúc với các mặt phẳng toạ độ nên \(a=b=c=R\).

\(\Rightarrow \left( S \right):{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-a \right)}^{2}}+{{\left( z-a \right)}^{2}}={{a}^{2}}\).

Do \(M\left( 17\,;\,18\,;\,21 \right)\in \left( S \right)\) nên \({{\left( 17-a \right)}^{2}}+{{\left( 18-a \right)}^{2}}+{{\left( 21-a \right)}^{2}}={{a}^{2}}\).

\(\Rightarrow 2{{a}^{2}}-112a+1054=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & a=28-\sqrt{257} \\  & a=28+\sqrt{257} \\ \end{align} \right.\)

Vì quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm nên \(a=28-\sqrt{257}\) thỏa.

Vậy đường kính quả bóng bằng \(2a=56-2\sqrt{257}\approx 23,9\,\left( \text{cm} \right)\).

Đặt \(HE={{x}_{{}}}v{{\grave{a}}_{{}}}FK=y\), với \(x,\,y>0\).

 Ta có: \(HE+KF=24\Rightarrow x+y=24\Rightarrow y=24-x\).

\(\left\{ \begin{align}  & AE=\sqrt{25+{{x}^{2}}} \\  & BF=\sqrt{49+{{y}^{2}}}=\sqrt{49+{{\left( 24-x \right)}^{2}}} \\ \end{align} \right.\)

Nhận định \(AB\) ngắn nhất khi \(AE+BF\) nhỏ nhất (vì \(EF\) không đổi). 

Xét hàm số \(f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+25}+\sqrt{{{\left( 24-x \right)}^{2}}+49}\).

\({f}'\left( x \right)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+25}}+\frac{x-24}{\sqrt{{{x}^{2}}-48x+625}},\,\forall x\in \left( 0;24 \right)\). 

Cho \({f}'\left( x \right)=0\Rightarrow x=10\).

Bảng biến thiên 

Vậy\(\underset{\left( 0;24 \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}{\mathop{\min f\left( x \right)}}\,=f\left( 10 \right)=12\sqrt{5}\).

Khi đó \(BF=\sqrt{49+{{\left( 24-10 \right)}^{2}}}=7\sqrt{5}\approx 16\,km\).

Gọi A là biến cố “qua được lần kiểm tra đầu tiên” \(\Rightarrow P\left( A \right)=0,98\).

Gọi B là biến cố “qua được lần kiểm tra thứ 2” \(\Rightarrow P\left( B|A \right)=0,95\).

Chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu phải thỏa mãn 2 điều kiện trên, hay ta đi tính \(P\left( A\cap B \right)\).

Ta có : \(P\left( B|A \right)=\frac{P\left( A\cap B \right)}{P\left( A \right)}\).

\(\Rightarrow P\left( A\cap B \right)=P\left( B|A \right).P\left( A \right)=0,95.0,98=\frac{931}{1000}\approx 0,93\).