Câu hỏi:

Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với góc tường, các tia \(\text{Ox},\text{Oy},\text{Oz}\) hướng theo các đường giao giữa các bức tường và nền nhà.

Gọi tâm mặt cầu là \(I\left( a;b;c \right)\), khi đó \(a,b,c\) là các số dương.

Do quả bóng tiếp xúc với các bức tường và nền nhà nên \(a=b=c=R\).

Phương trình mặt cầu là \({{(x-R)}^{2}}+{{(y-R)}^{2}}+{{(z-R)}^{2}}={{R}^{2}}\).

Trên quả bóng có điểm \(M\) mà khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà lần lượt là 17 cm , \(18\text{cm},21\text{cm}\) nên \(M\left( 17;18;21 \right)\) thuộc mặt cầu.

Do đó ta có:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   {} & {{(17-R)}^{2}}+{{(18-R)}^{2}}+{{(21-R)}^{2}} & ={{R}^{2}}  \\    \Leftrightarrow  & 2{{R}^{2}}-112R+1054 & =0  \\    \Leftrightarrow  & \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   R=28-\sqrt{257}  \\    R=28+\sqrt{257}  \\ \end{array} \right. & {}  \\ \end{array}\)

Do quả bóng tiêu chuẩn có đường kính nằm \(\left( 23\text{cm};24.5\text{cm} \right)\) nên \(R=28-\sqrt{257}\approx 12\text{cm}\).

Diện tích của con sông: \({{S}_{\text{s }\!\!\hat{\mathrm{o}}\!\!\text{ ng }\!\!~\!\!\text{ }}}=\mathop{\int }_{0}^{5\pi }\left( \text{sin}\frac{x}{10}+1 \right)dx\approx 25,7{{m}^{2}}\).

Diện tích toàn bộ công viên: \({{S}_{cv}}=50.20=1000\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{m}}^{2}}\).

Diện tích phần còn lại của công viên không bị con sông chiếm chỗ là:

\(1000{{m}^{2}}-25,7{{m}^{2}}\approx 974{{m}^{2}}\).

Đặt \(H C=x ; K D=y,(x, y>0 ; x+y<70)\).

Quảng đường đi trên sa mạc là:

\(\mathrm{AC}+\mathrm{BD}=\sqrt{100+\mathrm{x}^{2}}+\sqrt{100+\mathrm{y}^{2}}(\mathrm{~km})\)

Thời gian đi trên sa mạc là: \(\mathrm{t}_{\mathrm{AC}}+\mathrm{t}_{\mathrm{BD}}=\frac{\sqrt{100+\mathrm{x}^{2}}+\sqrt{100+\mathrm{y}^{2}}}{30}(\mathrm{~h})\).

Quãng đường đi trên đường nhựa: \(\mathrm{CD}=70-(\mathrm{x}+\mathrm{y})(\mathrm{km})\).

Thời gian đi trên đường nhựa là: \(\mathrm{t}_{\mathrm{CD}}=\frac{70-(\mathrm{x}+\mathrm{y})}{50}(\mathrm{~h})\).

Tổng thời gian đi từ A đến B là:

\(\mathrm{T}=\mathrm{t}_{\mathrm{AC}}+\mathrm{t}_{\mathrm{CD}}+\mathrm{t}_{\mathrm{DB}}=\frac{\sqrt{100+\mathrm{x}^{2}}+\sqrt{100+\mathrm{y}^{2}}}{30}+\frac{70-(\mathrm{x}+\mathrm{y})}{50}(\mathrm{~h}) .\)

Ta có:

\(\sqrt{100+x^{2}}+\sqrt{100+y^{2}} \geq \sqrt{(10+10)^{2}+(x+y)^{2}}=\sqrt{400+(x+y)^{2}} .\)

Nên \(T \geq \frac{\sqrt{400+(x+y)^{2}}}{30}+\frac{70-(x+y)}{50}\).

Đặt \(t=x+y,(0<t \leq 70)\).

Khi đó ta có: \(\mathrm{T} \geq \frac{\sqrt{400+\mathrm{t}^{2}}}{30}+\frac{70-\mathrm{t}}{50}\) với \(0<\mathrm{t} \leq 70\).

Khảo sát hàm \(\mathrm{f}(\mathrm{t})=\frac{\sqrt{400+\mathrm{t}^{2}}}{30}+\frac{70-\mathrm{t}}{50}, \forall \mathrm{t} \in(0 ; 70]\) ta có:

\(\min _{(0 ; 70]} \mathrm{f}(\mathrm{t})=\frac{58}{30}\), đạt được tại \(\mathrm{t}=15\).

Vậy thời gian đi quãng đường AB ngắn nhất là \(\frac{58}{30}(\mathrm{~h})=116\) phút.

Gọi \(A\) là biến cố: "Cây bố có kiểu gen bb";

\(M\) là biến cố: "Cây con lấy gene b từ cây bố";

\(N\) là biến cố: "Cây con lấy gene \(b\) từ cây mẹ";

\(E\) là biến cố: "Cây con có kiểu gene bb".

Theo giả thuyết hai biến cố \(M\) và \(N\) là độc lập

nên \(P\left( E \right)=P\left( M \right)\cdot P\left( N \right)\).

Tính \(P\left( M \right)\):

Ta áp dụng công thức xác suất toàn phần:

\(P\left( M \right)=P\left( A \right)\cdot P\left( M\mid A \right)+P\left( \overline{A} \right)\cdot P\left( M\mid \overline{A} \right)\).

Trong đó \(P\left( A \right)=0,4\); \(P\left( \overline{A} \right)=0,6\); \(P\left( M\mid A \right)=1\); \(P\left( M\mid \overline{A} \right)=\frac{1}{2}\).

Suy ra \(P\left( M \right)=0,4.1+0,6\cdot \frac{1}{2}=0,7\).

Tương tự ta tính được \(P\left( N \right)=0,7\).

Vậy \(P\left( E \right)=P\left( M \right)\cdot P\left( N \right)=0,7\cdot 0,7=0,49\).