Câu hỏi:

a) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + n - {n^2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^2}(\frac{1}{n^2} + \frac{1}{n} - 1) = -\infty$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{x^2+2x+4}{x+2} = \frac{2^2+2(2)+4}{2+2} = \frac{12}{4} = 3$

Câu hỏi này yêu cầu chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng và tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Vì đây là một bài toán hình học không gian tự luận nên không có các lựa chọn trắc nghiệm. Cần giải bài toán này bằng cách sử dụng các định lý và tính chất trong hình học không gian.

Diện tích hình vuông $(C_1)$ là $S_1 = a^2$.

Cạnh của hình vuông $(C_2)$ là $\frac{3}{4}a$, do đó $S_2 = (\frac{3}{4}a)^2 = \frac{9}{16}a^2$.

Tương tự, $S_3 = (\frac{3}{4})^4 a^2$,...

Vậy $T = S_1 + S_2 + S_3 + ... = a^2 + \frac{9}{16}a^2 + (\frac{9}{16})^2 a^2 + ... = a^2 (1 + \frac{9}{16} + (\frac{9}{16})^2 + ...)$.

Tổng trong ngoặc là một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1 = 1$ và $q = \frac{9}{16}$. Do đó, tổng của cấp số nhân là $\frac{1}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{1}{\frac{7}{16}} = \frac{16}{7}$.

Vậy $T = a^2 \cdot \frac{16}{7} = \frac{32}{3}$. Suy ra $a^2 = \frac{32}{3} \cdot \frac{7}{16} = \frac{14}{3}$.

Vậy $a = \sqrt{\frac{14}{3}} = \sqrt{\frac{42}{9}} = \frac{\sqrt{42}}{3} = \frac{\sqrt{6 \cdot 7}}{3}$ => đáp án sai, xem lại đề, chỗ chia cạnh thành 4 phần nối điểm chia thích hợp thì cạnh hình vuông mới phải là $\frac{5}{4}$, nếu đề cho cạnh hình vuông nhỏ là $\frac{3}{4}$ thì cạnh ngoài chia thành 5 phần cơ, hình như đề sai rồi

Nếu mà cạnh hình vuông $(C_2)$ là $\frac{\sqrt{2}}{4}a*4/sqrt(2)=\sqrt{2}a$, thì tính kiểu gì nhỉ?

Trên đường tròn lượng giác, với điểm $M(x_0; y_0)$ biểu diễn cho góc $\alpha$, ta có:
\begin{itemize}

$\cos \alpha = x_0$

$\sin \alpha = y_0$

\end{itemize}
Vậy đáp án đúng là $\sin \alpha = y_0$.

Ta xét từng đáp án:

• Đáp án A: $\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha $ (Đúng, theo công thức góc phụ nhau)
• Đáp án B: $\sin\left( {\pi + \alpha } \right) = -\sin\alpha $ (Sai)
• Đáp án C: $\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = -\sin \alpha $ (Sai)
• Đáp án D: $\tan\left( {\pi + 2\alpha } \right) = \tan(2\alpha)$ (Sai)

Vậy đáp án đúng là A.