Câu hỏi:

Gọi $x$ là số thực đơn 1 đã bán và $y$ là số thực đơn 2 đã bán. Ta có bài toán tối ưu:

Tìm max $f(x,y) = 35x + 60y$ với các điều kiện ràng buộc:

• $2x + 3y \le 165$


• $x + 2y \le 100$


• $x \ge 0, y \ge 0$

Ta có các đỉnh của miền nghiệm:

$A(0,0), B(0, 50), C(66, 0), D(60, 20), E(30, 40)$

Tính giá trị của $f(x,y)$ tại các đỉnh:

$f(0,0) = 0$

$f(0,50) = 3000$

$f(66,0) = 2310$

$f(60,20) = 3300$

$f(30,40) = 3450$

Vậy, số tiền lớn nhất mà câu lạc bộ có thể nhận được là $3450$ nghìn đồng.

Gọi $S = \{1, 2, 3, ..., 15\}$.

Số cách chọn 6 số từ 15 số là $C_{15}^6 = \frac{15!}{6!9!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5005$.

Số cách xếp 6 số vào 6 vị trí là $6! = 720$.

Vậy, số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = 5005 \cdot 720 = 3603600$.

Để giải được mật thư, 6 số được chọn phải tạo thành 3 cặp số là cấp số cộng. Gọi 6 vị trí là $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$. Khi đó, ta cần có $a_1 + a_3 = 2a_2, a_4 + a_6 = 2a_5$, tức là $(a_1, a_2, a_3)$ và $(a_4, a_5, a_6)$ là các cấp số cộng.

Các bộ 3 số là cấp số cộng trong $S$ là:

$1, 2, 3\qquad2, 3, 4\qquad3, 4, 5\qquad...\qquad13, 14, 15$ (13 bộ)

$1, 3, 5\qquad2, 4, 6\qquad3, 5, 7\qquad...\qquad11, 13, 15$ (11 bộ)

$1, 4, 7\qquad2, 5, 8\qquad3, 6, 9\qquad...\qquad9, 12, 15$ (9 bộ)

$1, 5, 9\qquad2, 6, 10\qquad3, 7, 11\qquad...\qquad7, 11, 15$ (7 bộ)

$1, 6, 11\qquad2, 7, 12\qquad3, 8, 13\qquad4, 9, 14\qquad5, 10, 15$ (5 bộ)

$1, 7, 13\qquad2, 8, 14\qquad3, 9, 15$ (3 bộ)

$1, 8, 15$ (1 bộ)

Tổng số bộ là $13+11+9+7+5+3+1 = 49$ bộ.

Chọn 2 bộ từ 49 bộ: $C_{49}^2 = \frac{49 \cdot 48}{2} = 49 \cdot 24 = 1176$.

Với mỗi cách chọn 2 bộ, ta có $3! = 6$ cách xếp các số trong mỗi bộ.

Số cách xếp hai bộ là $(3!)^2 = 6^2 = 36$.

Số cách xếp 2 bộ vào 6 vị trí là 1.

Số phần tử của biến cố A là $n(A) = 1176 \cdot 36 = 42336$.

Vậy $P = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{42336}{3603600} = \frac{1}{85.125}$.

Tuy nhiên, có những trường hợp trùng lặp, ví dụ như $(1, 2, 3)$ và $(3, 4, 5)$.

Xét các bộ 3 số là cấp số cộng:

{1,2,3}, {4,5,6}, {7,8,9}, {10,11,12}, {13,14,15} : 5 bộ liên tiếp, d=1

{1,3,5}, {2,4,6}, {3,5,7}, {4,6,8}, ... : d=2

{1,4,7}, {2,5,8} : d=3

Mau qua 1176 * 36

Gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $BG = \frac{2}{3}BM$. Ta có $BD \perp (SAC)$ (do $BD \perp AC$ và $BD \perp SA$). Dựng $GH \perp AC$ tại $H$. Vì $SG \perp (ABCD)$ nên $SG \perp BD$. Ta có $AC \perp BD$ suy ra $BD \perp (SAC)$. Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng $SG$ và $BD$ là khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng $(SAC)$, tức là độ dài đoạn $GH$. $BM = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông cân $ABC$). $BG = \frac{2}{3}BM = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{3}$. Vì $GH \parallel BM$ nên $\frac{GH}{BM} = \frac{AG}{AM} = \frac{1}{3} \Rightarrow GH = \frac{1}{3}BM = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{6}$. Vậy khoảng cách giữa $SG$ và $BD$ là $\frac{a\sqrt{2}}{6}$.

Thể tích khối chóp cụt là: $V_1 = \frac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2})=\frac{1}{3}.6.(3^2+4^2+\sqrt{3^2.4^2}) = 6(9+16+12)=222$.
Thể tích phần khoét đi là thể tích chỏm cầu: $V_2 = \frac{1}{3}\pi h^2 (3R-h)$.
Ta có: $h = R - \sqrt{R^2 - r^2} = 5 - \sqrt{5^2 - 4^2} = 5 - 3 = 2$.
$\Rightarrow V_2 = \frac{1}{3}.3.14.2^2.(3.5-2) = \frac{1}{3}.3.14.4.13 = 54.4$.
Vậy thể tích khối chân đế là: $V=V_1-V_2=222-54.4 = 167.6$ (cm3).

Gọi $x$ là số sản phẩm doanh nghiệp sản xuất trong một tháng.

• Doanh thu: $300,000x$ (nghìn đồng)


• Chi phí: $200,000x$ (nghìn đồng)


• Lợi nhuận: $300,000x - 200,000x = 100,000x$ (nghìn đồng)

Để lợi nhuận lớn hơn 100 triệu đồng, ta có:


$100,000x > 100,000,000$


$x > \frac{100,000,000}{100,000} = 1000$


Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất 1001 sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn hơn 100 triệu đồng. Vì đề bài yêu cầu lợi nhuận lớn *hơn* 100 triệu, ta phải chọn 1001 sản phẩm. Tuy nhiên, các đáp án đều sai. Theo đề bài, ta có lợi nhuận $P = 300000x - 200000x = 100000x$ (nghìn đồng).

Ta cần $P > 100,000,000$ (đồng) hay $100,000x > 100,000$ (nghìn đồng). Như vậy, $x > 1000$ (sản phẩm). Vậy số sản phẩm ít nhất là 1001. Bài này có vẻ bị lỗi ở số liệu.

Lợi nhuận phải lớn hơn 100 triệu đồng, vậy: $100000x > 100000000 \Leftrightarrow x > 1000$ nên cần ít nhất 1001 sản phẩm, gần nhất với 1002 sản phẩm.