Câu hỏi:

Gọi $S = \{1, 2, 3, ..., 15\}$.
Số cách chọn 6 số từ 15 số là $C_{15}^6 = \frac{15!}{6!9!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5005$.
Số cách xếp 6 số vào 6 vị trí là $6! = 720$.
Vậy, số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = 5005 \cdot 720 = 3603600$.
Để giải được mật thư, 6 số được chọn phải tạo thành 3 cặp số là cấp số cộng. Gọi 6 vị trí là $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$. Khi đó, ta cần có $a_1 + a_3 = 2a_2, a_4 + a_6 = 2a_5$, tức là $(a_1, a_2, a_3)$ và $(a_4, a_5, a_6)$ là các cấp số cộng.
Các bộ 3 số là cấp số cộng trong $S$ là:
$1, 2, 3\qquad2, 3, 4\qquad3, 4, 5\qquad...\qquad13, 14, 15$ (13 bộ)
$1, 3, 5\qquad2, 4, 6\qquad3, 5, 7\qquad...\qquad11, 13, 15$ (11 bộ)
$1, 4, 7\qquad2, 5, 8\qquad3, 6, 9\qquad...\qquad9, 12, 15$ (9 bộ)
$1, 5, 9\qquad2, 6, 10\qquad3, 7, 11\qquad...\qquad7, 11, 15$ (7 bộ)
$1, 6, 11\qquad2, 7, 12\qquad3, 8, 13\qquad4, 9, 14\qquad5, 10, 15$ (5 bộ)
$1, 7, 13\qquad2, 8, 14\qquad3, 9, 15$ (3 bộ)
$1, 8, 15$ (1 bộ)
Tổng số bộ là $13+11+9+7+5+3+1 = 49$ bộ.
Chọn 2 bộ từ 49 bộ: $C_{49}^2 = \frac{49 \cdot 48}{2} = 49 \cdot 24 = 1176$.
Với mỗi cách chọn 2 bộ, ta có $3! = 6$ cách xếp các số trong mỗi bộ.
Số cách xếp hai bộ là $(3!)^2 = 6^2 = 36$.
Số cách xếp 2 bộ vào 6 vị trí là 1.
Số phần tử của biến cố A là $n(A) = 1176 \cdot 36 = 42336$.
Vậy $P = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{42336}{3603600} = \frac{1}{85.125}$.
Tuy nhiên, có những trường hợp trùng lặp, ví dụ như $(1, 2, 3)$ và $(3, 4, 5)$.
Xét các bộ 3 số là cấp số cộng:
{1,2,3}, {4,5,6}, {7,8,9}, {10,11,12}, {13,14,15} : 5 bộ liên tiếp, d=1
{1,3,5}, {2,4,6}, {3,5,7}, {4,6,8}, ... : d=2
{1,4,7}, {2,5,8} : d=3
Mau qua 1176 * 36