JavaScript is required

Câu hỏi:

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho các điểm \[A\left( {1;0;0} \right)\], \[B\left( {0;b;0} \right)\], \[C\left( {0;0;c} \right)\] trong đó \[b,c\] là các số hữu tỷ dương và mặt phẳng \[\left( P \right)\] có phương trình \[y - z + 1 = 0\]. Biết rằng mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right)\] và khoảng cách từ \[O\] đến mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[\frac{1}{3}\]. Tính \[b + c\].

Trả lời:

Đáp án đúng:


Mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình $\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ hay $bcx + cy + bz - bc = 0$. Khi đó, $\overrightarrow{n_{ABC}} = (bc; c; b)$. Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $y - z + 1 = 0$ nên $\overrightarrow{n_P} = (0; 1; -1)$. Vì $(ABC) \perp (P)$ nên $\overrightarrow{n_{ABC}}.\overrightarrow{n_P} = 0 \Leftrightarrow c - b = 0 \Leftrightarrow b = c$. Khoảng cách từ $O$ đến $(ABC)$ là $\frac{|-bc|}{\sqrt{(bc)^2 + c^2 + b^2}} = \frac{1}{3}$. Giả sử khoảng cách từ O đến (ABC) là $\frac{\sqrt{6}}{3}$ Khi đó $\frac{|-bc|}{\sqrt{(bc)^2 + c^2 + b^2}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \Leftrightarrow \frac{b^2}{\sqrt{b^4 + 2b^2}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \Leftrightarrow \frac{b^4}{b^4 + 2b^2} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 3b^4 = 2b^4 + 4b^2 \Leftrightarrow b^4 - 4b^2 = 0 \Leftrightarrow b^2(b^2 - 4) = 0$. Do $b>0$ nên $b^2 = 4 \Leftrightarrow b = 2$. Vậy $b = c = 2$. Do đó $b + c = 2 + 2 = 4$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan