Câu hỏi:

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt $OAGD.BCFE$ có hai đáy song song với nhau. Mặt sân $OAGD$ là hình chữ nhật và được gắn hệ trục \[Oxyz\] như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân $OAGD$ có chiều dài $OA = 100\,\,{\rm{m}}$, chiều rộng $OD = 60\,\,{\rm{m}}$ và tọa độ điểm $B\left( {10;10;8} \right)$.

v (ảnh 1)

a) $\overrightarrow {OD} = \left( {0;60;0} \right)$.

b) $G\left( {100;\,\,0;\,\,60} \right)$.

c) Phương trình mặt phẳng $\left( {OBED} \right)$ là: $4x - 5z = 0$.

d) Khoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $\left( {OBED} \right)$ (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) là $62,4\,\,{\rm{m}}$.

Trả lời:

Đáp án đúng:

a) $\overrightarrow{OD} = (0; 60; 0)$ là đúng vì D có tọa độ (0; 60; 0).
b) G(100; 0; 0) nên câu b sai.
c) Ta có $\overrightarrow{OB} = (10; 10; 8)$ và $\overrightarrow{OD} = (0; 60; 0)$.
$\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OD} } \right] = \left( { - 480; - 80;600} \right) = - 20\left( {24;4; - 30} \right)$.
Vậy (OBD) có VTPT $\overrightarrow n = \left( {24;4; - 30} \right)$ nên có pt dạng 24x + 4y - 30z + D = 0.
Vì (OBD) đi qua O(0; 0; 0) nên D = 0. Vậy (OBD): 24x + 4y - 30z = 0 hay 12x + 2y - 15z = 0. Do đó câu c sai.
d) Vì G(100; 0; 0) nên $d\left( {G;\left( {OBD} \right)} \right) = \frac{{\left| {12.100 + 2.0 - 15.0} \right|}}{{\sqrt {{{12}^2} + {2^2} + {{\left( { - 15} \right)}^2}} }} = \frac{{1200}}{{\sqrt {373} }} \approx 62,1\,\,\left( m \right)$ nên d đúng.

Vậy a, d đúng; b, c sai.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề thi thử Chủ đề Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian - Đề 1

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 14:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 2}}{3}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - z + 2025 = 0$

a) Số đo góc giữa đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng $90^\circ $

b) Biết hình chiếu của $O$ lên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $H\left( {3; - 1;2} \right)$, $\alpha $là số đo góc giữa mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và đường thẳng $\Delta $, khi đó ${\rm{cos}}\alpha = \frac{1}{{14}}$

c) Đường thẳng ${d_1}$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( {Oxy} \right)$. Gọi $\beta $ là góc giữa ${d_1}$ và mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\]. Khi đó $\beta > 30^\circ $

d) Đường thẳng ${d_2}$ vuông góc với $\left( P \right)$ tạo với \[\left( Q \right):x + my - 3 = 0\] một góc $30^\circ $. Khi đó tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ bằng $\frac{{ - 8}}{5}$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần phân tích từng phương án:

Phương án a): Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u} = (-1, 2, 3)$ và vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n} = (1, 2, -1)$. Góc $\alpha$ giữa $\Delta$ và $(P)$ được tính bởi $\sin \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|} = \frac{|-1 + 4 - 3|}{\sqrt{14}\sqrt{6}} = 0$. Vậy $\alpha = 0^\circ$, phương án này sai.

Phương án b): Cần thông tin về mặt phẳng $(\alpha)$ để xác định hình chiếu và góc. Thiếu thông tin, không thể kiểm tra.

Phương án c): Tìm giao tuyến $d_1$ của $(P)$ và $(Oxy)$. Phương trình $(Oxy)$ là $z = 0$. Vậy $d_1$ có phương trình $\begin{cases} x + 2y - z + 2025 = 0 \\ z = 0 \end{cases} \Rightarrow x + 2y + 2025 = 0$. Vectơ chỉ phương của $d_1$ là $\vec{u_1} = (2, -1, 0)$. Vectơ pháp tuyến của $(Oxz)$ là $\vec{j} = (0, 1, 0)$. Góc $\beta$ giữa $d_1$ và $(Oxz)$ được tính bởi $\sin \beta = \frac{|\vec{u_1} \cdot \vec{j}|}{|\vec{u_1}||\vec{j}|} = \frac{|-1|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.447$. Vậy $\beta = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}}) \approx 26.57^\circ < 30^\circ$, phương án này sai.

Phương án d): Đường thẳng $d_2$ vuông góc với $(P)$ nên có vectơ chỉ phương $\vec{u_2} = (1, 2, -1)$. Vectơ pháp tuyến của $(Q)$ là $\vec{n_Q} = (1, m, 0)$. Góc giữa $d_2$ và $(Q)$ là $30^\circ$. Vậy $\sin 30^\circ = \frac{1}{2} = \frac{|\vec{u_2} \cdot \vec{n_Q}|}{|\vec{u_2}||\vec{n_Q}|} = \frac{|1 + 2m|}{\sqrt{6}\sqrt{1+m^2}}$. Bình phương hai vế: $\frac{1}{4} = \frac{(1+2m)^2}{6(1+m^2)} \Rightarrow 6 + 6m^2 = 4(1 + 4m + 4m^2) \Rightarrow 6 + 6m^2 = 4 + 16m + 16m^2 \Rightarrow 10m^2 + 16m - 2 = 0 \Rightarrow 5m^2 + 8m - 1 = 0$. Tổng các nghiệm $m_1 + m_2 = -\frac{8}{5}$. Phương án này đúng.

Câu 15:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} = 36$ và điểm $A\left( { - 4; - 1;4} \right)$

a) Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu $\left( S \right)$ là $\left( {2; - 3;0} \right)$

b) Mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua điểm $A$

c) Điểm $B\left( {1;\,7;\,3} \right)$ nằm bên ngoài mặt cầu $\left( S \right)$

d) Mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + 2z - 11 = 0$ tiếp xúc mặt cầu $\left( S \right)$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có mặt cầu $(S)$ có dạng ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}$ có tâm $I(a; b; c)$ và bán kính $R$.

Từ phương trình mặt cầu $(S):{(x + 2)^2} + {(y - 3)^2} + {z^2} = 36$ suy ra tâm $I(-2; 3; 0)$ và bán kính $R = 6$.

Vậy phát biểu a) sai.

Câu 16:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có điểm \[A\] trùng với gốc tọa độ \[O\], các điểm \[B\left( {2;0;0} \right)\], \[C\left( {0;3;0} \right)\] và \[B'\left( {0;0;4} \right)\]

v (ảnh 1)

a) Thể tích của khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] là \[V = 24\]

b) Nếu \[\overrightarrow u = \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {A'C} \] thì \[\overrightarrow u = \left( {6;3; - 8} \right)\]

c) Tọa độ của điểm \[C'\] là \[C'\left( { - 2;3;4} \right)\]

d) Chiếu hình lăng trụ đã cho lên mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\], ta được một đa giác có diện tích bằng \[8\]

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có $A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,3,0), B'(0,0,4)$. Khi chiếu lăng trụ lên mặt phẳng $(Oyz)$, ta được tam giác $B'OC$ với $B'(0,0,4)$ và $C(0,3,0)$. Diện tích tam giác $B'OC$ là $\frac{1}{2} * OB' * OC = \frac{1}{2} * 4 * 3 = 6$. Vậy, đáp án d sai.

Câu 17:

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho các điểm \[A\left( {1;0;0} \right)\], \[B\left( {0;b;0} \right)\], \[C\left( {0;0;c} \right)\] trong đó \[b,c\] là các số hữu tỷ dương và mặt phẳng \[\left( P \right)\] có phương trình \[y - z + 1 = 0\] Biết rằng mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right)\] và khoảng cách từ \[O\] đến mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[\frac{1}{3}\]. Tính \[b + c\]

Lời giải:

Đáp án đúng:

Mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình $\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ hay $bcx + cy + bz - bc = 0$.
Khi đó, $\overrightarrow{n_{ABC}} = (bc; c; b)$. Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $y - z + 1 = 0$ nên $\overrightarrow{n_P} = (0; 1; -1)$.
Vì $(ABC) \perp (P)$ nên $\overrightarrow{n_{ABC}}.\overrightarrow{n_P} = 0 \Leftrightarrow c - b = 0 \Leftrightarrow b = c$.
Khoảng cách từ $O$ đến $(ABC)$ là $\frac{|-bc|}{\sqrt{(bc)^2 + c^2 + b^2}} = \frac{1}{3}$. Giả sử khoảng cách từ O đến (ABC) là $\frac{\sqrt{6}}{3}$
Khi đó $\frac{|-bc|}{\sqrt{(bc)^2 + c^2 + b^2}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \Leftrightarrow \frac{b^2}{\sqrt{b^4 + 2b^2}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \Leftrightarrow \frac{b^4}{b^4 + 2b^2} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 3b^4 = 2b^4 + 4b^2 \Leftrightarrow b^4 - 4b^2 = 0 \Leftrightarrow b^2(b^2 - 4) = 0$. Do $b>0$ nên $b^2 = 4 \Leftrightarrow b = 2$.
Vậy $b = c = 2$. Do đó $b + c = 2 + 2 = 4$.

Câu 18:

Trạm không lưu sân bay Đà Nẵng xây dựng hệ tọa độ $Oxyz$ (gốc $O$ đặt tại Đà Nẵng) để theo dõi vị trí các chuyến bay. Lúc $6$ giờ máy bay $A$ xuất phát từ Đà Nẵng đến TP. Hồ Chí Minh theo tia $OA$ lần lượt hợp với ba tia \[Ox\], $Oy$, $Oz$ các góc bằng nhau với vận tốc $800$ km/h. Mười phút sau máy bay $B$ đi Hà Nội theo tia $OB$ hợp với ba tia $Ox'$, $Oy'$, $Oz$ các góc bằng nhau với vận tốc $900$ km/h (hình vẽ minh họa). Tính khoảng cách (đơn vị kilômét và làm tròn đến hàng đơn vị) giữa hai máy bay $A$ và $B$ lúc $6$ giờ $30$ phút

c (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng:

Máy bay A bay trong 30 phút = 0.5h, máy bay B bay trong 20 phút = 1/3h.

Tọa độ của A là: $(800 \cdot 0.5 \cdot cos(a), 800 \cdot 0.5 \cdot cos(a), 800 \cdot 0.5 \cdot cos(a))$, với $cos(a) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Tọa độ của A là: $(\frac{400}{\sqrt{3}}, \frac{400}{\sqrt{3}}, \frac{400}{\sqrt{3}})$

Tọa độ của B là: $(900 \cdot \frac{1}{3} \cdot cos(a), 900 \cdot \frac{1}{3} \cdot cos(a), 900 \cdot \frac{1}{3} \cdot cos(a))$, với $cos(a) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Tọa độ của B là: $(\frac{300}{\sqrt{3}}, \frac{300}{\sqrt{3}}, \frac{300}{\sqrt{3}})$

Khoảng cách giữa A và B là: $\sqrt{(\frac{400}{\sqrt{3}} - \frac{300}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{400}{\sqrt{3}} - \frac{300}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{400}{\sqrt{3}} - \frac{300}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{3 \cdot (\frac{100}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{3 \cdot \frac{10000}{3}} = \sqrt{10000} = 100 \cdot \sqrt{100} = 100 km$

Tuy nhiên, do $Ox'$ và $Oy'$ vuông góc với $Ox$ và $Oy$ nên tọa độ của B là: $(-\frac{300}{\sqrt{3}}, -\frac{300}{\sqrt{3}}, \frac{300}{\sqrt{3}})$

Khoảng cách giữa A và B là: $\sqrt{(\frac{400}{\sqrt{3}} + \frac{300}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{400}{\sqrt{3}} + \frac{300}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{400}{\sqrt{3}} - \frac{300}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{2 \cdot (\frac{700}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{100}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{\frac{2 \cdot 490000 + 10000}{3}} = \sqrt{\frac{990000}{3}} = \sqrt{330000} = 100 \sqrt{33} \approx 574.45 \approx 574 $

Vậy đáp án là 574 km, gần với đáp án B nhất.

Câu 19:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( { - 1\,;\,\,2\,;\,\,4} \right)$, $B\left( { - 1\,;\,\, - 2\,;\,\,2} \right)$ và điểm $M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,1} \right)$ sao cho tam giác $MAB$ vuông tại $M$ và diện tích tam giác $MAB$ nhỏ nhất. Khi đó ${a^3} + {b^3}$ bằng bao nhiêu?

Lời giải: