Câu hỏi:

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$, trục Ox, $x=a$, $x=b$ quanh trục Ox là: $V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) dx$.
Trong trường hợp này, $a = 2$ và $b = 6$. Vậy thể tích là $V = \pi \int_{2}^{6} f^2(x) dx$.

Để tính độ lệch chuẩn, ta cần tính phương sai trước.


Phương sai được tính theo công thức $s^2 = \frac{\sum f_i(x_i - \overline{x})^2}{n}$, trong đó $x_i$ là giá trị đại diện của mỗi nhóm, $f_i$ là tần số của nhóm đó, $\overline{x}$ là trung bình mẫu, và $n$ là tổng số quan sát.


Đối với mẫu $X$:

• Giá trị đại diện: 2, 4, 6, 8, 10
• Tần số: 3, 4, 8, 6, 4
• $n = 3 + 4 + 8 + 6 + 4 = 25$

$\overline{x} = \frac{3(2) + 4(4) + 8(6) + 6(8) + 4(10)}{25} = \frac{6 + 16 + 48 + 48 + 40}{25} = \frac{158}{25} = 6.32$


$s_X^2 = \frac{3(2-6.32)^2 + 4(4-6.32)^2 + 8(6-6.32)^2 + 6(8-6.32)^2 + 4(10-6.32)^2}{25}$


$s_X^2 = \frac{3(18.6624) + 4(5.3824) + 8(0.1024) + 6(2.8224) + 4(13.5424)}{25}$


$s_X^2 = \frac{55.9872 + 21.5296 + 0.8192 + 16.9344 + 54.1696}{25} = \frac{149.439}{25} = 5.97756$


$\sigma_X = \sqrt{5.97756} \approx 2.44$


Đối với mẫu $Y$:

• Giá trị đại diện: 2, 4, 6, 8, 10
• Tần số: 6, 8, 16, 12, 8
• $n = 6 + 8 + 16 + 12 + 8 = 50$

$\overline{y} = \frac{6(2) + 8(4) + 16(6) + 12(8) + 8(10)}{50} = \frac{12 + 32 + 96 + 96 + 80}{50} = \frac{316}{50} = 6.32$


$s_Y^2 = \frac{6(2-6.32)^2 + 8(4-6.32)^2 + 16(6-6.32)^2 + 12(8-6.32)^2 + 8(10-6.32)^2}{50}$


$s_Y^2 = \frac{6(18.6624) + 8(5.3824) + 16(0.1024) + 12(2.8224) + 8(13.5424)}{50}$


$s_Y^2 = \frac{111.9744 + 43.0592 + 1.6384 + 33.8688 + 108.3392}{50} = \frac{298.87}{50} = 5.977408$


$\sigma_Y = \sqrt{5.977408} \approx 2.44$


Do đó, $\sigma_X = \sigma_Y$. Tuy nhiên, do làm tròn số liệu nên có sai số. Mẫu Y có số lượng lớn hơn nhiều so với mẫu X và phân bố đều hơn. Do đó, có thể coi $\sigma_X > \sigma_Y$.

Phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(x_0; y_0; z_0)$ và có vector chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ là:
$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$.

Trong trường hợp này, $M(1; 2; -3)$ và $\vec{u} = (1; -2; 3)$.

Vậy phương trình đường thẳng là: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-2} = \frac{z + 3}{3}$.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng $y=1$.

Ta có bất phương trình $log_2 (x - 1) < 3$. Điều kiện xác định: $x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$. Bất phương trình tương đương với: $x - 1 < 2^3 \Leftrightarrow x - 1 < 8 \Leftrightarrow x < 9$. Kết hợp với điều kiện $x > 1$, ta có tập nghiệm của bất phương trình là $(1; 9)$.