Câu hỏi:

Đường tròn \(\left( \text{C} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y-1=0\) có:

Tâm \(\text{I}\left( 1;-2 \right)\) và bán kính \(\text{R}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-2)}^{2}}-(-1)}=\sqrt{6}\).

a) \(f(x)={{x}^{2}}-6x+8\) là một tam thức bậc hai.

Đúng, vì \(f(x)\) có dạng \(a{{x}^{2}}+bx+c\) với \(a=1,b=-6,c=8\).

b) \(f\left( 2 \right)=1\).

Sai, vì: Thay \(x=2\) vào \(f\left( x \right)\): \(f(2)={{2}^{2}}-6.2+8=4-12+8=0\).

c) \(f(x)\)có vô số nghiệm.

Sai, vì: Với \(f(x)={{x}^{2}}-6x+8\)= 0.

Ta có \(\Delta '={{(-3)}^{2}}-8=1>0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

d) \(f\left( x \right)>0\)với mọi \(x\in (-\infty ;2)\cup (4;+\infty )\).

Đúng, vì: Ta có \(\Delta '={{(-3)}^{2}}-8=1>0\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}}=2\) và \({{x}_{2}}=4\).

Mặt khác \(a=1>0\), do đó ta có bảng xét dấu:

Suy ra \(f\left( x \right)>0\) với mọi \(x\in \left( -\infty ;2 \right)\cup \left( 4;+\infty  \right).\)

a) Một vectơ pháp tuyến của đường cao \(AH\) là \(\overrightarrow{BC}.\)

Đúng, vì \(AH\bot BC\).

b) Phương trình đường cao \(AH\) là \(x+y-2=0\).

Đúng, vì: Đường cao\(AH\) nhận \(\overrightarrow{BC}=(4;4)=4(1;1)\) là 1 vectơ pháp tuyến và đi qua điểm \(A\left( 1;\,1 \right)\) có phương trình là:

\(1.(x-1)+1.(y-1)=0\) hay \(x+y-2=0\).

c) Phương trình đường thẳng \(BC\) là \(-x+y-2=0\).

Sai, vì: Đường cao\(BC\) nhận \(\overrightarrow{BC}=(4;4)=4(1;1)\) là 1 vectơ chỉ phương.

Suy ra nhận \((1;-1)\) là một vectơ pháp tuyến và đường thẳng BC đi qua điểm \(B\left( 0;\,-2 \right)\) có phương trình là: \(1.(x-0)-1.(y+2)=0\) hay \(x-y-2=0.\)

d) Tọa độ điểm H là (0;2).

Sai, vì: Điểm H là giao điểm của AH và BC nên ta có:

\(\left\{ \begin{align}  & x+y=2 \\  & x-y=2 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=2 \\  & y=0 \\ \end{align} \right.\)

Vậy \(H(2;0)\).

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

Phương trình Parabol \(\left( P \right)\) có dạng: \(y=a{{x}^{2}}+bx+c(a\ne 0)\).

Parabol \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( 0;0 \right)\), \(B\left( 160;0 \right)\), \(M\left( 10;45 \right)\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{align}  & c=0 \\  & a{{.160}^{2}}+b.160+c=0 \\  & a{{.10}^{2}}+b.10+c=45 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & c=0 \\  & b=\frac{24}{5} \\  & a=\frac{-3}{100} \\ \end{align} \right.\)

Vậy phương trình Parabol \(\left( P \right)\)có dạng:

\(y=\frac{-3}{100}{{x}^{2}}+\frac{24}{5}x+0\).

Do đó, chiều cao:

\(h=\frac{-\Delta }{4a}=-\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4a}=-\frac{{{\left( \frac{24}{5} \right)}^{2}}-4.\left( \frac{-3}{100} \right).0}{4.\left( \frac{-3}{100} \right)}=192\) (m).