Câu hỏi:

Tam thức bậc hai ẩn \(x\) có dạng \(a{{x}^{2}}+bx+c\), trong đó \(a,b,c\) là những số thực cho trước (với \(a\ne 0\)).

\(\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}=\sqrt{2{{x}^{2}}-2x}\).

Bình phương hai vế của phương trình, ta được:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   {} & {{x}^{2}}+2x-3 & =2{{x}^{2}}-2x  \\    \Leftrightarrow  & -{{x}^{2}}+4x-3 & =0  \\    \Leftrightarrow  & (x-3)(x-1) & =0  \\ \end{array}\)

Vậy \(x=3\) hoặc \(x=1\).

Tổng các nghiệm của phương trình là \(1+3=4\).

Parabol \(y=a{{x}^{2}}+bx+c\) có tọa độ đỉnh \(I\left( -\frac{b}{2a};\,-\frac{\Delta }{4a} \right)\).

Xét\(\left( P \right):y=3{{x}^{2}}-2x+1\) có \(\Delta ={{(-2)}^{2}}-4.3=-9\).

Ta có tọa độ đỉnh \(I\left( \frac{2}{2.3};-\,\frac{-8}{4.3} \right)=\left( \frac{1}{3};\frac{-2}{3} \right)\).

Hàm số \(y=-{{x}^{2}}+6x-1\) có \(a=-1<0\), hàm số đồng biến trên khoảng

\(\left( -\infty ;\frac{-b}{2a} \right)=\left( -\infty ;\frac{-6}{-2} \right)=\left( -\infty ;3 \right)\).

\(f(x)={{x}^{2}}-x+m\).

Có \(\Delta ={{(-1)}^{2}}-4.1.m=1-4m\).

Bất phương trình \({{x}^{2}}-x+m\le 0\) vô nghiệm khi \({{x}^{2}}-x+m>0\) luôn dương với mọi \(x\in \mathbb{R}\).

Suy ra \(\Delta <0\Leftrightarrow 1-4m<0\Leftrightarrow 1<4m\Leftrightarrow m>\frac{1}{4}\).