Câu hỏi:
Người ta cần xây một cây cầu thẳng bắc qua một con sông. Khi đặt vào hệ trục tọa độ \(Oxy\) với độ dài trên mỗi trục dài \(1\,km\), thì hai bên bờ sông có dạng các đồ thị hàm số \(y = e^{x-1}\) và \(y = \ln(x-1)\) (tham khảo hình vẽ).
Đáp án đúng: 1,41
Nhận xét về tính chất đối xứng:
- Gọi hàm số \(f(x) = e^{x-1}\) (với đồ thị \((C_1)\)).
- Gọi hàm số \(g(x) = \ln(x-1)\) (với đồ thị \((C_2)\)).
Xét hàm số \(y = e^{x-1}\). Đổi vai trò \(x\) và \(y\): \(x = e^{y-1} \Rightarrow \ln x = y - 1 \Rightarrow y = \ln x + 1\).
Xét hàm số \(y = \ln(x-1)\). Đổi vai trò \(x\) và \(y\): \(x = \ln(y-1) \Rightarrow e^x = y - 1 \Rightarrow y = e^x + 1\).
Thực tế, đồ thị \((C_1): y = e^{x-1}\) và \((C_2): y = \ln(x-1)\) đối xứng với nhau qua đường thẳng \(d: y = x - 1\).
Để kiểm tra điều này, lấy điểm \(M(x_0; y_0) \in (C_1) \Rightarrow y_0 = e^{x_0-1}\).
Điểm \(M'(y_0+1; x_0-1)\) sẽ thuộc đồ thị \((C_2)\) vì \(\ln[(y_0+1)-1] = \ln y_0 = \ln(e^{x_0-1}) = x_0-1\).
Khoảng cách ngắn nhất giữa hai đồ thị đối xứng qua một đường thẳng \(d\) chính là 2 lần khoảng cách ngắn nhất từ một đồ thị đến đường thẳng đối xứng \(d\) đó.
Tìm khoảng cách ngắn nhất từ \((C_1): y = e^{x-1}\) đến đường thẳng \(d: x - y - 1 = 0\):
Gọi \(M(x; e^{x-1}) \in (C_1)\). Khoảng cách từ M đến \(d\) là:
\(h(x) = \frac{|x - e^{x-1} - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{e^{x-1} - x + 1}{\sqrt{2}}\) (vì \(e^{x-1} > x - 1\) với mọi x).
Xét \(k(x) = e^{x-1} - x + 1 \Rightarrow k'(x) = e^{x-1} - 1\).
Cho \(k'(x) = 0 \Rightarrow e^{x-1} = 1 \Rightarrow x = 1\).
Tại \(x = 1\), giá trị nhỏ nhất của \(k(x)\) là \(k(1) = e^0 - 1 + 1 = 1\).
Vậy \(h(x)_{\min} = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
Độ dài ngắn nhất của cây cầu là:
\(L_{\min} = 2 \times h(x)_{\min} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1,41\) km.
Đáp án đúng là 1,41.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Tuyển Tập Đề Thi Tham Khảo Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia Năm 2026 - Toán - Bộ Đề 01 được biên soạn bám sát cấu trúc đề thi minh họa mới nhất năm 2026 của Bộ Giáo dục và Đào tạo, giúp học sinh lớp 12 tự tin chinh phục kỳ thi quan trọng. Nội dung đề thi bao quát toàn bộ kiến thức trọng tâm, tập trung vào việc phát triển năng lực tư duy, khả năng vận dụng toán học vào giải quyết các bài toán thực tiễn. Đề thi bao gồm đầy đủ các dạng câu hỏi: trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn, trắc nghiệm đúng/sai và trắc nghiệm trả lời ngắn, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng làm bài và kiểm soát thời gian hiệu quả. Với hệ thống chấm điểm tự động và hướng dẫn giải chi tiết cho từng câu hỏi, đây là tài liệu ôn tập lý tưởng để các sĩ tử đánh giá chính xác năng lực hiện tại và bứt phá điểm số trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT sắp tới.
Câu hỏi liên quan
Máy bay bay từ M đến N hết 20 phút, từ N đến Q hết 10 phút với vận tốc và hướng không đổi.
Suy ra \(\vec{MN} = 2\vec{NQ}\). Gọi \(N(x; y; z)\), ta có:
\((x - 1100; y - 650; z - 14) = 2(1500 - x; 860 - y; 16 - z)\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 1100 = 3000 - 2x \\ y - 650 = 1720 - 2y \\ z - 14 = 32 - 2z \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{4100}{3} \\ y = 790 \\ z = \frac{46}{3} \end{array} \right. \Rightarrow N\left(\frac{4100}{3}; 790; \frac{46}{3}\right)\)
Vectơ \(\vec{MN} = \left(\frac{800}{3}; 140; \frac{4}{3}\right)\).
Quãng đường máy bay đi từ M đến N: \(MN = \sqrt{\left(\frac{800}{3}\right)^2 + 140^2 + \left(\frac{4}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{640\,000}{9} + 19\,600 + \frac{16}{9}} \approx 301,36\) km.
Vận tốc máy bay: \(v_m = \frac{MN}{20}\) (km/phút).
Vectơ \(\vec{EN} = \left(\frac{4100}{3} - \frac{1700}{3}; 790 - 370; \frac{46}{3} - \frac{34}{3}\right) = (800; 420; 4)\).
Quãng đường pháo bay từ E đến N: \(EN = \sqrt{800^2 + 420^2 + 4^2} = \sqrt{640\,000 + 176\,400 + 16} = \sqrt{816\,416} \approx 903,56\) km.
Ta thấy \(EN = 3 \times MN\).
Vận tốc pháo: \(v_p = 5v_m = 5 \cdot \frac{MN}{20} = \frac{MN}{4}\).
Thời gian pháo bay từ E đến N là: \(t_p = \frac{EN}{v_p} = \frac{3MN}{\frac{MN}{4}} = 12\) phút.
Máy bay đi từ M đến N mất 20 phút. Để pháo trúng máy bay tại N, pháo phải được bắn sau khi máy bay xuất phát từ M một khoảng thời gian là:
\(t = 20 - 12 = 8\) phút.
Đáp án đúng là 8.
Diện tích nửa đường tròn đường kính \(AB\) là \(\frac{1}{2} \cdot \pi \left( \frac{AB}{2} \right)^2 = 8\pi \Rightarrow AB = 8\).
Xét hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ với \(O \equiv A\) và tia \(AB\) trùng với tia \(Ox\).
Đường thẳng \(AC\) có phương trình là \(d: y = \frac{\sqrt{3}}{3} x\) (vì \(AC\) đi qua \(A(0; 0)\) và có hệ số góc \(k = \tan BAC = \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\)).
Gọi \((C)\) là đường tròn tâm \((2; 0)\), bán kính \(R = 2\); khi đó phương trình \((C): (x - 2)^2 + y^2 = 4\).
Hoành độ giao điểm giữa \(d\) và đường tròn \((C)\) thỏa mãn phương trình.
\(\left(x - 2\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3} x\right)^2 = 4 \Leftrightarrow \frac{4}{3} x^2 - 4x = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 0 \\ x = 3 \end{bmatrix}\).
Đường thẳng \(BC\) qua \(B(8; 0)\), vuông góc \(d\): \(y = \frac{\sqrt{3}}{3} x\) nên có phương trình \(y = -\sqrt{3}(x - 8)\).
Hai đường thẳng \(AC\), \(BC\) cắt nhau tại \(C\) thỏa hệ \(\begin{cases} y = \frac{\sqrt{3}}{3} x \\ y = -\sqrt{3}(x - 8) \end{cases} \Rightarrow C(6; 2\sqrt{3})\).
Thế tích khối tròn xoay khi quay tam giác \(ABC\) quanh \(Ox\) là:.
\(V = \pi \int_{3}^{4} \left[ \frac{1}{3} x^2 - \left(4 - (x - 2)^2\right) \right] \mathrm{d}x + \pi \int_{2}^{6} \frac{1}{3} x^2 \mathrm{d}x + \pi \int_{6}^{8} 3(x - 8)^2 \mathrm{d}x = \frac{82}{3} \pi \approx \boxed{85,9}\).
Đáp án đúng là 85,9.
\(H_1\): học sinh tham gia văn nghệ \(P(H_1) = 0,44\).
\(H_2\): học sinh tham gia thi đấu thể thao \(P(H_2) = 0,56\).
Gọi \(A\) là biến cố học sinh được chọn là nữ.
\(P \left(H_1 \mid A\right) = 1 \Rightarrow P \left(H_2 \mid A\right) = 0\).
Ta có: \(P\left(H_1 \mid \overline{A}\right) = 0,2\) và ta cần tìm \(P(A \mid H_1)\).
\(P \left(H_2 \mid \overline{A}\right) = 0,8\).
\(\begin{aligned}P(A) = x &\Rightarrow P(H_1) = P(H_1 \mid A).P(A) + P(H_1 \mid \overline{A}).P(\overline{A}) \\&\Leftrightarrow 0,44 = 1.x + 0,2.(1 - x) \\&\Leftrightarrow x = 0,3\end{aligned}\).
\(P(A \mid H_1) = \frac{P(AH_1)}{P(H_1)} = \frac{P(A).P(H_1 \mid A)}{P(H_1)} = \frac{0,3.1}{0,44} = \frac{15}{22} \approx 0,68\).
Đáp án đúng là 0,68.
Ta có \(u_3=u_1+2 d \Rightarrow 2 d=3 \Rightarrow d=\frac{3}{2}\).
Đáp án đúng là D.
Vì \(\log_a b^m = m \log_a |b|\).
Đáp án đúng là C.
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
