Một người đưa thư xuất phát từ bưu điện ở vị trí A, các điểm cần phát thư nằm dọc các con dường cần đi quBiết rằng người này phải đi trên mỗi con đường ít nhất một lần (để phát được thư cho tất cả các điểm cần phát nằm dọc theo con đường đó) và cuối cùng quay lại điểm xuất phát. Độ dài các con đường như hình vẽ (đơn vị độ dài). Hỏi tổng quãng đường người đưa thư có thể đi ngắn nhất có thể là bao nhiêu ?

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\), với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc máy bay, mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\) trùng với mặt đất, trục \(Ox\) hướng về phía Bắc, trục \(Oy\) hướng về phía Tây, trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ). 

Chiếc máy bay thứ nhất có tọa độ \(\left( 10;20;0,7 \right)\).

Chiếc máy bay thứ hai có tọa độ \(\left( -30;-25;1 \right)\).

Do đó khoảng cách giữa hai chiếc máy bay là:

\(\sqrt{{{\left( 10+30 \right)}^{2}}+{{\left( 20+25 \right)}^{2}}+{{\left( 0,7-1 \right)}^{2}}}\approx 60\left( km \right)\).

Thể tích của cả bể nhiên liệu là \(V=B\cdot h=5\pi \left( {{\text{m}}^{3}} \right)\).

Gọi \({{V}_{1}}\) là thể tích phần trống nhiên liệu trong bể.

Chọn hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ.

Ta có diện tích phần tô đậm là:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   S & =2\int\limits_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\left( \sqrt{1-{{x}^{2}}}-\frac{1}{2} \right)\text{d}x}=2\int\limits_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}\cdot \text{d}x}-2\int\limits_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{dx}  \\   {} & =2\int\limits_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}\cdot \text{d}x}-\frac{\sqrt{3}}{2}=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\sqrt{1-\text{si}{{\text{n}}^{2}}t}\text{cos}t\cdot \text{dt}}-\frac{\sqrt{3}}{2}  \\   {} & =2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}t\cdot \text{d}t}-\frac{\sqrt{3}}{2}=2\left( \frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{4} \right)-\frac{\sqrt{3}}{2}  \\   {} & =\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}.  \\\end{array}\)

Vậy thể tích phần trống trong bể là:

\({{V}_{1}}=\int\limits_{0}^{5}{\left( \frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4} \right)\text{d}x}=\left( \frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4} \right)\cdot 5\).

Vậy thể tích phần nhiên liệu trong bồn là:

\({{V}_{2}}=V-{{V}_{1}}=5\pi -\left( \frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4} \right)5\approx 12,6\left( \text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{m}}^{3}} \right)\).

Doanh thu của nhà máy khi sản xuất 1 tấn sản phẩm là \(P(x)\) triệu đồng.

Doanh thu của nhà máy khi sản xuất \(x\) tấn sản phẩm là \(xP(x)\) triệu đồng.

Chi phí của nhà máy khi sản xuất \(x\) tấn sản phẩm là \(C(x)\) triệu đồng.

Vì Lợi nhuận = Doanh thu - Chi phí nên ta có lợi nhuận của nhà máy \(A\) khi sản xuất \(x\) tấn sản phẩm là:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   H(x) & =xP(x)-C(x)=x\left( 45-0,001{{x}^{2}} \right)-(100+30x)  \\   {} & =-0,001{{x}^{3}}+15x-100,\text{ vi }0\le x\le 100.  \\\end{array}\)

\({{H}^{\prime }}(x)=-0,003{{x}^{2}}+15\).

\({{H}^{\prime }}(x)=0\Leftrightarrow -0,003{{x}^{2}}+15=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x=50\sqrt{2}  \\   x=-50\sqrt{2}  \\\end{array} \right.\)

Chỉ có \(x=50\sqrt{2}\) thỏa mãn điều kiện.

Ta có: \(H(0)=-100;H(50\sqrt{2})=500\sqrt{2};H(100)=400\).

Vậy lợi nhuận lớn nhất khi \(A\) sản xuất \(50\sqrt{2}\approx 71\) tấn sản phẩm.

Gọi \(A\): "Lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp II";

\(B\): "Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp I, trong đó có đúng 1 quả màu vàng".

Ta có \(\overline{B}\): ''Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp I, trong đó có đúng 2 quả màu vàng".

Trường hợp 1: \(B\) xảy ra

+) Số cách lấy 4 quả bóng bàn ở hộp \(I\) là \(C_{5}^{4}\), có 1 cách lấy 3 quả trắng và 2 cách lấy 1 quả vàng. Ta có \(P\left( B \right)=\frac{1.2}{C_{5}^{4}}=\frac{2}{5}\).

+) Sau khi bỏ 4 quả ở hộp I sang hộp II thì hộp II sẽ có 9 quả màu trắng và 5 quả màu vàng.

Do đó \(P\left( A\left| B \right. \right)=\frac{5}{14}\).

Trường hợp 2: \(\overline{B}\) xảy ra

+) Số cách lấy 4 quả ở hộp I là \(C_{5}^{4}\), có \(C_{3}^{2}\) cách lấy ra 2 quả trắng và 1 cách lấy ra 2 quả màu vàng từ hộp I.

Ta có \(P\left( \overline{B} \right)=\frac{C_{3}^{2}.1}{C_{5}^{4}}=\frac{3}{5}\) hoặc có thể tính \(P\left( B \right)=1-P\left( \overline{B} \right)=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\).

+) Sau khi bỏ 4 quả ở hộp I sang hộp II thì hộp II sẽ có 8 quả màu trắng và 6 quả màu vàng.

Vậy \(P\left( A\left| \overline{B} \right. \right)=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}\).

Cuối cùng áp dụng công thức xác suất toàn phần:

\(P\left( A \right)=P\left( B \right).P\left( A\left| B \right. \right)+P\left( \overline{B} \right).P\left( A\left| \overline{B} \right. \right)=\frac{2}{5}.\frac{5}{14}+\frac{3}{5}.\frac{3}{7}=0,4\).

Do theo bảng nguyên hàm: \(\int{{{a}^{x}}\text{d}x=\frac{{{a}^{x}}}{\ln \,a}+C}\).