Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy Hai nhà máy này thoả thuận rằng, hằng tuần A cung cấp cho B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa 100 sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \(x\) sản phẩm thì giá bán cho mỗi sản phẩm là \(P\left( x \right)=45-0,001{{x}^{2}}\) (triệu đồng). Chi phí để A sản xuất \(x\) sản phẩm trong một tuần là \(C\left( x \right)=100+30x\) (triệu đồng) (gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi sản phẩm). Hỏi nhà máy A bán cho nhà máy B bao nhiêu sản phẩm mỗi tuần để thu được lợi nhuận nhiều nhất? (Số sản phẩm là số nguyên dương).

Gọi \(A\): "Lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp II";

\(B\): "Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp I, trong đó có đúng 1 quả màu vàng".

Ta có \(\overline{B}\): ''Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp I, trong đó có đúng 2 quả màu vàng".

Trường hợp 1: \(B\) xảy ra

+) Số cách lấy 4 quả bóng bàn ở hộp \(I\) là \(C_{5}^{4}\), có 1 cách lấy 3 quả trắng và 2 cách lấy 1 quả vàng. Ta có \(P\left( B \right)=\frac{1.2}{C_{5}^{4}}=\frac{2}{5}\).

+) Sau khi bỏ 4 quả ở hộp I sang hộp II thì hộp II sẽ có 9 quả màu trắng và 5 quả màu vàng.

Do đó \(P\left( A\left| B \right. \right)=\frac{5}{14}\).

Trường hợp 2: \(\overline{B}\) xảy ra

+) Số cách lấy 4 quả ở hộp I là \(C_{5}^{4}\), có \(C_{3}^{2}\) cách lấy ra 2 quả trắng và 1 cách lấy ra 2 quả màu vàng từ hộp I.

Ta có \(P\left( \overline{B} \right)=\frac{C_{3}^{2}.1}{C_{5}^{4}}=\frac{3}{5}\) hoặc có thể tính \(P\left( B \right)=1-P\left( \overline{B} \right)=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\).

+) Sau khi bỏ 4 quả ở hộp I sang hộp II thì hộp II sẽ có 8 quả màu trắng và 6 quả màu vàng.

Vậy \(P\left( A\left| \overline{B} \right. \right)=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}\).

Cuối cùng áp dụng công thức xác suất toàn phần:

\(P\left( A \right)=P\left( B \right).P\left( A\left| B \right. \right)+P\left( \overline{B} \right).P\left( A\left| \overline{B} \right. \right)=\frac{2}{5}.\frac{5}{14}+\frac{3}{5}.\frac{3}{7}=0,4\).

Do theo bảng nguyên hàm: \(\int{{{a}^{x}}\text{d}x=\frac{{{a}^{x}}}{\ln \,a}+C}\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,\,\,x=b\) được tính bởi công thức:\(S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|}\,\text{d}x\).

Ta có: \(n=42\).

Nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là \({{Q}_{1}}={{x}_{11}}\).

Mà \({{x}_{11}}\in [20;40)\).

Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là nhóm [20;40).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( 2;-1;-3 \right)\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\left( 1\,;\,2;1 \right)\) và nhận véc-tơ \(\overrightarrow{AB}=\left( 2;-1;-3 \right)\) làm véc-tơ chỉ phương có phương trình là:

\(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{-3}\).