Câu hỏi:

Ta có phương trình đường cong \(y = 2x^4 \Rightarrow x^2 = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2}}\).

Tại thời điểm \(t\), gọi \(h(t)\) là chiều cao của cát trong bình phía trên (\(0 \leq h \leq 2\)).

Diện tích mặt cắt ngang của khối cát tại độ cao \(h\) là \(S(h) = \pi x^2 = \frac{\pi \sqrt{h}}{\sqrt{2}}\).

Ví phân thể tích theo chiều cao là \(\mathrm{d}V = S(h)\mathrm{d}h = \frac{\pi\sqrt{h}}{\sqrt{2}}\mathrm{d}h\).

Theo giả thiết, tốc độ thay đổi thể tích thỏa mãn \(30V'(t) = \sqrt{h(t)}\).

Vì cát chảy ra ngoài nên thể tích giảm dần theo thời gian, ta xét độ lớn tốc độ dòng chảy:

\(- 3 0 \frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t} = \sqrt {h} \Rightarrow - 3 0 \mathrm {d} V = \sqrt {h} \mathrm {d} t\).

Thay \(\mathrm{d}V\) vào phương trình trên, ta được: \(-30 \cdot \frac{\pi \sqrt{h}}{\sqrt{2}} \mathrm{d}h = \sqrt{h} \mathrm{d}t \Leftrightarrow \mathrm{d}t = -\frac{30\pi}{\sqrt{2}} \mathrm{d}h\).

Thời gian \(T\) để cát chảy hết ứng với chiều cao \(h\) biến thiên từ 2 (ban đầu) về 0 (kết thúc).

Lấy tích phân hai về: \(\int_0^T dt = \int_2^0 -\frac{30\pi}{\sqrt{2}} dt\).

Suy ra \(T = -\frac{30\pi}{\sqrt{2}} \cdot (0 - 2) = \frac{60\pi}{\sqrt{2}} = 30\pi \sqrt{2}\).

Đáp án đúng là 133.

Mặt cầu \((S_1): x^2 + y^2 + z^2 = R^2\), \((S_2): x^2 + y^2 + (z - 6400)^2 = 450^2\).

Mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu là \(\frac{2R^2 - 450^2}{12800}\).

Tính \(\cos AOI = \frac{OH}{R}\) và \(\cos MOI = \frac{OK}{R} = \frac{6000}{R}\) (dùng máy tính tính 2 góc ở đơn vị radian).

Từ đó tính được góc \(MOA = MOI - AOI = \alpha\) (radian).

Quãng đường đi tối thiểu là \(l = MA = R\alpha \approx 1825\).

Đáp án đúng là 1825.

Gọi \(M \in y = e^x \Rightarrow M(a; e^a)\), \(N \in (P) \Rightarrow N\left(b; -\frac{1}{2}b^2 + 3b - 2\right)\).

\(d_{1}\) là tiếp tuyến của đồ thị \(y = e^{x}\) tại \(M\), \(d_{2}\) là tiếp tuyến của đồ thị \((P)\) tại \(N\).

\(\Rightarrow M N \geq d\left(M, d_2\right)\) và \(M N \geq d\left(N, d_1\right)\), Khi đó dấu " = " Xảy ra khi \(\left\{\begin{array}{l}M N \perp d_1 \\ M N \perp d_2\end{array}\right.\)

Có nghĩa là tồn tại 2 tiếp tuyến của 2 đồ thị hàm số song song với nhau, suy ra hệ số gốc 2 tiếp tuyến bằng nhau.

\(\Rightarrow f'(a) = g'(b) \Leftrightarrow e^a = -b + 3 \Rightarrow b = 3 - e^a\).

Khi đó tọa độ điểm \(N\left(3 - e^a; -\frac{1}{2}\left(3 - e^a\right)^2 + 3\left(3 - e^a\right) - 2\right)\).

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \overrightarrow{MN} = \left(3 - e^a - a; -\frac{1}{2}\left(3 - e^a\right)^2 + 3\left(3 - e^a\right) - 2 - e^a\right) \\\Rightarrow MN = \sqrt{\left(3 - e^a - a\right)^2 + \left[ -\frac{1}{2}\left(3 - e^a\right)^2 + 3\left(3 - e^a\right) - 2 - e^a \right]^2} \xrightarrow{\text{Casio}} \frac{d}{da} \longrightarrow a = 0,5013036.\end{array}\).

Suy ra: \(MN_{Min} = 0,99123722..\)

Khi đó con đường ngắn nhất là 9,91m.

Đáp án đúng là 9,91.

Gọi \(A\): dùng phác đồ \(A\), suy ra \(\overline{A}\): dùng phác đồ \(B\). Ta có \(P(A) = P(\overline{A}) = 0,5\).

Gọi \(X\): chữa khỏi bệnh. Ta có \(P(X \mid A) = 0,6; P(X \mid \overline{A}) = 0,8\).

Gọi \(Y\): bị tác dụng phụ nghiêm trọng. Ta có \(P(Y \mid A) = 0,05; P(Y \mid \overline{A}) = 0,1\).

Ta có.

\(\begin{array}{l} P(X \bar{Y}) = P(A). P(X \bar{Y} \mid A) + P(\bar{A}). P(X \bar{Y} \mid \bar{A}) = P(A). P(X \mid A). P(\bar{Y} \mid A) + P(\bar{A}). P(X \mid \bar{A}). P(\bar{Y} \mid \bar{A}) \\= 0,5.0,6. (1 - 0,05) + 0,5.0,7. (1 - 0,1) = 0,6 \end{array}\).

Và \(P(X) = P(A). P(X \mid A) + P(\bar{A}). P(X \mid \bar{A}) = 0,5.0,6 + 0,5.0,7 = 0,65\).

Nên \(P(\bar{Y} \mid X) = \frac{P(X \bar{Y})}{P(X)} = \frac{0,6}{0,65} \approx 0,923 = 92,3\%\).

Đáp án đúng là 92,3.

Cấp số cộng có công sai \(d = u_{3} - u_{2} = 9 - 3 = 6\).

Số hạng thứ 4 của cấp số cộng là \(u_{4} = u_{3} + d = 9 + 6 = 15\).

Đáp án đúng là B.