JavaScript is required

Câu hỏi:

Một bể chứa lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng độ gam muối cho mỗi lít nước với tốc độ lít/phút. Giả sử sau phút, nồng độ muối của nước trong bể (tỉ số giữa khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị gam/lít) là một hàm số . Khi lượng nước trong bể tăng theo thời gian đến vô hạn thì nồng độ muối của nước trong bể sẽ tăng dần đến giá trị nào?

Trả lời:

Đáp án đúng:


Gọi $V(t)$ là thể tích nước trong bể sau $t$ phút (lít), $m(t)$ là khối lượng muối trong bể sau $t$ phút (gam), và $C(t)$ là nồng độ muối trong bể sau $t$ phút (gam/lít).
  • Ban đầu, $V(0) = 1000$ lít và $m(0) = 0$ gam.
  • Sau $t$ phút, thể tích nước trong bể là $V(t) = V(0) + qt = 1000 + 2t$.
  • Lượng muối bơm vào bể sau $t$ phút là $20 \times 2t = 40t$ gam.
  • Khi $t \to \infty$, thể tích nước trong bể cũng tiến đến vô cùng. Ta cần tìm giới hạn của nồng độ muối khi $t \to \infty$:
$C(t) = \frac{m(t)}{V(t)}$
Tuy nhiên, cách tiếp cận trên không đủ thông tin để giải bài toán một cách chính xác. Bài toán này liên quan đến tốc độ thay đổi của lượng muối trong bể.
Gọi $m(t)$ là lượng muối trong bể ở thời điểm $t$. Ta có $\frac{dm}{dt} = $ (tốc độ muối đi vào) - (tốc độ muối đi ra).
Tốc độ muối đi vào là $2 \text{ lít/phút} \times 20 \text{ gam/lít} = 40 \text{ gam/phút}$.
Tốc độ muối đi ra là $2 \text{ lít/phút} \times C(t) \text{ gam/lít} = 2C(t) \text{ gam/phút} = 2 \frac{m(t)}{1000 + 2t} \text{ gam/phút}$.
$\frac{dm}{dt} = 40 - 2 \frac{m}{1000+2t}$
Khi $t$ tiến đến vô cùng, nồng độ muối sẽ tiến đến một giá trị giới hạn, tức là $\frac{dm}{dt} \to 0$. $0 = 40 - 2 \frac{m}{1000 + 2t}$
Khi $t \to \infty$, $C(t) = \frac{m(t)}{V(t)} = \frac{m(t)}{1000+2t}$ tiến đến một giá trị $C$. Do đó:
$40 = 2C$ $C = 20$ gam/lít.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan