Lớp 12A có 30 học sinh, trong đó có 17 bạn nữ còn lại là nam. Có 3 bạn tên Hiền, trong đó có 1 bạn nữ và 2 bạn nam. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên 1 bạn lên bảng.

a) Đúng.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là \(\overrightarrow{AB}=\left( 0;~7,5;~-4,5 \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng \(AB\) là:

\(\left\{ \begin{matrix}   x=3,5  \\   y=-2+7,5t  \\   z=0,4-0,4t  \\\end{matrix} \right.(t\in \mathbb{R})\).

b) Đúng.

Vì \(D\) thuộc đường thẳng \(AB\) nên \(D(3,5;~-2+7,5d;~0,4-0,4d)(d\in \mathbb{R})\).

Mà \(D\) có độ cao 0.12 nên \(0,4-0,4d=0,12\Leftrightarrow d=0,7\).

Vậy \(D(3,5;~3,25;~0,12)\).

c) Sai.

Phương trình mặt phẳng \((MNP)\) là:

\(\frac{x}{5}+\frac{y}{-5}+\frac{z}{0,5}=1\Leftrightarrow x-y+10z-5=0\).

Vì \(C\) thuộc đường thẳng \(AB\) nên \(C(3,5;~-2+7,5c;~0,4-0,4c)(c\in \mathbb{R})\).

Mà \(C\) thuộc mặt phẳng \((NMP)\) nên \(3,5-(-2+7,5c)+10(0,4-0,4c)-5=0\Leftrightarrow c=\frac{9}{23}\).

Suy ra \(C(\frac{7}{2};~\frac{43}{46};~\frac{28}{115})\).

d) Đúng.

Ta có \(DE=\sqrt{{{(3,5-3,5)}^{2}}+{{(4,5-3,25)}^{2}}+{{(0-0,12)}^{2}}}\approx 1,26(km)\).

Vì \(900m=0,9km<1,26km\) nên phi công không nhìn thấy điểm E và không đạt được quy định an toàn bay.

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Ta có: \(AB//\left( SCD \right)\).

\(\Rightarrow d\left( AB;SD \right)=d\left( AB;\left( SCD \right) \right)=d\left( A;\left( SCD \right) \right)=2d\left( O;\left( SCD \right) \right)\).

Trong\(\left( ABCD \right)\) dựng \(OM\bot CD=M\),\(\left( SOM \right)\), dựng \(OH\bot SM=H\).

Ta có: \(\left\{ \begin{align}  & OH\bot SM \\  & OH\bot CD \\ \end{align} \right.\Rightarrow OH\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( O;\left( SCD \right) \right)=OH\).

Có \(OM=1;SO=\sqrt{6};\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{M}^{2}}}+\frac{1}{S{{O}^{2}}}=\frac{7}{6}\Rightarrow OH=\frac{\sqrt{42}}{7}\).

Vậy: \(d\left( AB;SD \right)=2d\left( O;\left( SCD \right) \right)=2OH=\frac{2\sqrt{42}}{7}\approx 1,9\).

Do đó, tổng số thử thách của đường đi nhận giá trị nhỏ nhất là 53.

Phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(\frac{x-5}{5}=\frac{y}{10}=\frac{z-5}{-2}.\)

Vì \(M\) thuộc \(AB\) nên tồn tại số thực \(t\) sao cho \(M(5t+5;~10t;~-2t+5).\)

Ngoài ra, \(M\) thuộc mặt phẳng \((Oxy)\) nên \(-2t+5=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}.\)

Suy ra \(M(17,~5;~25;~0).\) Vậy \(a+b=17,5+25=42,5.\)

Diện tích của phần phía ngoài phông (phần không tô đen) bằng diện tích hình giới hạn bởi parabol trừ đi diện tích phông hình chữ nhật MNPQ

Diện tích của hình chữ nhật là: \(4\cdot 6=24~{{m}^{2}}\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ.

Parabol đối xứng qua \(Oy\) nên có dạng \(\left( P \right):y=a{{x}^{2}}+c.\)

Vì \(\left( P \right)\) đi qua \(B\left( 4;0 \right)\) và \(N\left( 2;6 \right)\) nên \(\left( P \right):y=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+8.\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và trục \(Ox\) là:

\(S=2\int\limits_{0}^{4}{\left( -\frac{1}{2}{{x}^{2}}+8 \right)}\text{d}x=\frac{128}{3}{{\text{m}}^{\text{2}}}.\)

Diện tích phần phía ngoài phông để trang trí hoa là:

\(S={{S}_{1}}-{{S}_{MNPQ}}=\frac{128}{3}-24=\frac{56}{3}\approx 18,7{{\text{m}}^{\text{2}}}\text{.}\)