Câu hỏi:

- Theo công thức tổng quát, diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a, x = b\) là:

  \(S = \int_{a}^{b} |f(x)|\, dx\).

- Thay \(f(x) = x^2 - 1, a = 1, b = 2\), ta có công thức:

  \(S = \int_{1}^{2} |x^2 - 1|\, dx\).

- Lưu ý: Các phương án có \(\pi\) (A và C) thường dùng để tính thể tích khối tròn xoay, không dùng cho diện tích hình phẳng. Phương án D sai về thứ tự cận và thiếu dấu giá trị tuyệt đối.

Đáp án đúng là B.

- Điểm đi qua: \(A(x_0; y_0; z_0) = (2; -1; 3)\).

- Vectơ pháp tuyến: \(\vec{n} = (A; B; C) = (2; 0; -1)\).

- Công thức phương trình mặt phẳng: \(A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0\).

Thay tọa độ điểm \(A\) và các thành phần của vectơ \(\vec{n}\) vào công thức:

   \(2(x - 2) + 0(y - (-1)) + (-1)(z - 3) = 0\).

Khai triển và thu gọn biểu thức:

   \(2x - 4 - z + 3 = 0\).

   \(2x - z - 1 = 0\).

Đáp án đúng là D.

a) Thực hiện tính toán đạo hàm:

Hàm số có dạng \(y = \frac{ax + b}{cx + d}\), đạo hàm \(y' = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}\).

Ta có: \(f'(x) = \frac{1 \cdot (-1) - 2 \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{-3}{(x - 1)^2}\).

Vì \((x - 1)^2 = (1 - x)^2\), nên \(f'(x) = -\frac{3}{(1 - x)^2}, \forall x \neq 1\).

Đáp án đúng là Đúng.

b) Quan sát/Phân tích dữ liệu trên đoạn [0; 2]:

Hàm số \(f(x)\) không xác định tại \(x = 1\). Vì \(1 \in [0; 2]\) nên hàm số bị gián đoạn trên đoạn này.

Khi \(x \to 1^-\), \(f(x) \to -\infty\); khi \(x \to 1^+\), \(f(x) \to +\infty\).

Do hàm số tiến tới vô cực nên không tồn tại giá trị lớn nhất trên đoạn \([0; 2]\).

Đáp án đúng là Sai.

c) Xác định tâm đối xứng:

Đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệm cận.

- Tiệm cận đứng: \(x = 1\).

- Tiệm cận ngang: \(y = 1\).

Suy ra tâm đối xứng \(I(1; 1)\).

Thay tọa độ \(I\) vào đường thẳng \(d: x - y + 1 = 0\), ta có: \(1 - 1 + 1 = 1 \neq 0\).

Vậy \(I\) không nằm trên đường thẳng \(d\).

Đáp án đúng là Sai.

d) Thực hiện tính toán phương trình tiếp tuyến:

Tại \(M(2; 4)\), ta có \(x_0 = 2\).

Hệ số góc của tiếp tuyến: \(k = f'(2) = \frac{-3}{(2 - 1)^2} = -3\).

Phương trình tiếp tuyến tại \(M(2; 4)\) là:

\(y = -3(x - 2) + 4 \Leftrightarrow y = -3x + 6 + 4 \Leftrightarrow 3x + y - 10 = 0\).

Đáp án đúng là Đúng.

a) Từ phân tích trên, hàm diện tích nấm mốc phải có dạng \(A(t) = C \cdot e^{kt}\). Phát biểu ghi \(g(t) = e^{kt} + C\) là sai cấu trúc của nghiệm phương trình vi phân tách biến này.

Đáp án đúng là Sai.

b) Sử dụng dữ liệu đề bài để tìm \(k\):

- Tại \(t = 0\): \(A(0) = C \cdot e^0 = 2 \Rightarrow C = 2\). Vậy \(A(t) = 2 \cdot e^{kt}\).

- Tại \(t = 2\): \(A(2) = 2 \cdot e^{2k} = 9 \Rightarrow e^{2k} = \frac{9}{2}\).

- Lấy logarit tự nhiên hai vế: \(2k = \ln \frac{9}{2} \Rightarrow k = \frac{1}{2} \ln \frac{9}{2}\).

Đáp án đúng là Đúng.

c) Ta đã xác định được hàm diện tích là \(A(t) = 2 \cdot e^{kt}\).

- Tại \(t = 0\), diện tích nấm mốc là \(A(0) = 2\) (theo đề bài).

- Phát biểu ghi \(g(0) = 2 \ln 2\) là sai giá trị thực tế của lượng nấm mốc ban đầu.

Đáp án đúng là Sai.

d) Tính diện tích sau 3 ngày (\(t = 3\)):

- Ta có công thức: \(A(t) = 2 \cdot e^{t \cdot \frac{1}{2} \ln \frac{9}{2}} = 2 \cdot \left( e^{\ln \frac{9}{2}} \right)^{\frac{t}{2}} = 2 \cdot \left( \frac{9}{2} \right)^{\frac{t}{2}}\).

- Với \(t = 3\): \(A(3) = 2 \cdot \left( 4,5 \right)^{1,5} = 2 \cdot \sqrt{4,5^3} = 2 \cdot \sqrt{91,125} \approx 2 \cdot 9,546 = 19,09\) (cm²).

- Vì \(19,09 < 20\) nên phát biểu "lớn hơn 20 cm²" là sai.

Đáp án đúng là Sai.

a) Tọa độ của điểm \(A\):

- \(x_A = OA \cdot \cos(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\).

- \(y_A = OA \cdot \sin(30^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10\).

- Vậy tọa độ \(A(10\sqrt{3}; 10; 0)\). Phát biểu ghi \((10; 10\sqrt{3}; 0)\) là sai.

Đáp án đúng là Sai.

b) Phương trình mặt phẳng \((P)\):

- Mặt phẳng \((P)\) chứa trục \(Oz\) và đường thẳng \(OA\). 

- Đường thẳng \(OA\) nằm trong \((Oxy)\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{OA} = (10\sqrt{3}; 10; 0)\) hay \(\vec{u} = (\sqrt{3}; 1; 0)\).

- Vectơ pháp tuyến của \((P)\) là \(\vec{n} = [\vec{u}, \vec{k}] = (1; -\sqrt{3}; 0)\).

- Phương trình mặt phẳng \((P)\): \(1(x - 0) - \sqrt{3}(y - 0) = 0 \Leftrightarrow x - \sqrt{3}y = 0\). Phát biểu ghi \(\sqrt{3}x - y = 0\) là sai.

Đáp án đúng là Sai.

c) Khoảng cách xa nhất khi quả bóng ở độ cao 4 m:

- Trong mặt phẳng \((P)\), gọi \(s\) là khoảng cách hình chiếu của quả bóng trên \(OA\) đến \(O\), \(z\) là độ cao.

- Parabol đi qua \((0;0)\), \((20;0)\) và có đỉnh tại \((10;6)\). Phương trình: \(z = a \cdot s(s - 20)\).

- Thay \((10;6)\) vào: \(6 = a \cdot 10 \cdot (-10) \Rightarrow a = -0,06\). Vậy \(z = -0,06s^2 + 1,2s\).

- Khi \(z = 4\): \(-0,06s^2 + 1,2s - 4 = 0 \Rightarrow s \approx 15,77\) hoặc \(s \approx 4,23\).

- Khoảng cách từ quả bóng \(M(s; z)\) đến \(O\): \(d = \sqrt{s^2 + z^2} = \sqrt{15,77^2 + 4^2} \approx 16,27\) (m).

Đáp án đúng là Đúng.

d) Tính góc \(\widehat{OMA}\):

- Điểm \(M\) có độ cao lớn nhất nên hình chiếu của \(M\) xuống mặt sân là trung điểm \(I\) của \(OA\).

- \(I(5\sqrt{3}; 5; 0)\), \(M(5\sqrt{3}; 5; 6)\). Ta có \(\overrightarrow{MO} = (-5\sqrt{3}; -5; -6)\) và \(\overrightarrow{MA} = (5\sqrt{3}; 5; -6)\).

- \(\cos(\widehat{OMA}) = \frac{\overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{MA}}{|\overrightarrow{MO}| \cdot |\overrightarrow{MA}|} = \frac{-75 - 25 + 36}{\sqrt{75+25+36} \cdot \sqrt{75+25+36}} = \frac{-64}{136} \approx -0,47\).

- \(\widehat{OMA} \approx 118^\circ\). Phát biểu ghi \(120^\circ\) là sai.

Đáp án đúng là Sai.