Câu hỏi:

Hàm số $y=\dfrac{x+1}{2x-1}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

0

3

2

1

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Ta có:
$y' = \dfrac{(x+1)'(2x-1) - (x+1)(2x-1)'}{(2x-1)^2} = \dfrac{1(2x-1) - (x+1)2}{(2x-1)^2} = \dfrac{2x-1 - 2x - 2}{(2x-1)^2} = \dfrac{-3}{(2x-1)^2}$
Vì $y' = \dfrac{-3}{(2x-1)^2} < 0$ với mọi $x \neq \dfrac{1}{2}$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; \dfrac{1}{2})$ và $(\dfrac{1}{2}; +\infty)$.
Do đó, hàm số không có điểm cực trị.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Chủ đề Đạo hàm và khảo sát hàm số - Dạng 3: Nhận biết, tìm điểm cực trị, đếm số điểm cực trị của hàm số

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 20

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 9:

Cho hàm số $y=x^4-\dfrac23x^3-x^2.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có $y' = 4x^3 - 2x^2 - 2x = 2x(2x^2 - x - 1) = 2x(x-1)(2x+1)$.

$y'=0$ khi $x=0, x=1, x=-\dfrac{1}{2}$.

$y'' = 12x^2 - 4x - 2$.

$y''(0) = -2 < 0$ nên $x=0$ là điểm cực đại.

$y''(1) = 12 - 4 - 2 = 6 > 0$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu.

$y''(-\dfrac{1}{2}) = 12(\dfrac{1}{4}) - 4(-\dfrac{1}{2}) - 2 = 3 + 2 - 2 = 3 > 0$ nên $x=-\dfrac{1}{2}$ là điểm cực tiểu.

Vậy hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu. Do đó, hàm số có một giá trị cực tiểu.

Câu 10:

Hàm số $y=x^3-3x^2-1$ đạt cực đại tại

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm điểm cực đại của hàm số $y = x^3 - 3x^2 - 1$, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm bậc nhất: $y' = 3x^2 - 6x$

Tìm các điểm tới hạn bằng cách giải phương trình $y' = 0$:
$3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$

Tính đạo hàm bậc hai: $y'' = 6x - 6$

Xét dấu của đạo hàm bậc hai tại các điểm tới hạn:
- Tại $x = 0$: $y''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0$. Vì $y''(0) < 0$, hàm số đạt cực đại tại $x = 0$.
- Tại $x = 2$: $y''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0$. Vì $y''(2) > 0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$.

Vậy, hàm số đạt cực đại tại $x = 0$.

Câu 11:

Hàm số $y=x^3-5x^2+7x-1$ đạt cực đại tại

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm điểm cực đại của hàm số $y=x^3-5x^2+7x-1$, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm bậc nhất: $y' = 3x^2 - 10x + 7$

Giải phương trình $y' = 0$: $3x^2 - 10x + 7 = 0$. Phương trình này có hai nghiệm phân biệt $x_1 = 1$ và $x_2 = \frac{7}{3}$

Tính đạo hàm bậc hai: $y'' = 6x - 10$

Xét dấu của đạo hàm bậc hai tại các nghiệm:
- $y''(1) = 6(1) - 10 = -4 < 0$, vậy $x = 1$ là điểm cực đại.
- $y''(\frac{7}{3}) = 6(\frac{7}{3}) - 10 = 4 > 0$, vậy $x = \frac{7}{3}$ là điểm cực tiểu.

Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=1$.

Câu 12:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=(x-2 \, 024)^{2 \, 024}(x-2 \, 025)^{2 \, 025}, \, \forall x\in \mathbb{R}$ . Số điểm cực đại của hàm số đã cho là

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có $f'(x)=(x-2024)^{2024}(x-2025)^{2025}$.
$f'(x) = 0$ khi $x = 2024$ hoặc $x = 2025$.
Xét dấu của $f'(x)$:

Khi $x < 2024$, $(x-2024)^{2024} > 0$ và $(x-2025)^{2025} < 0$ nên $f'(x) < 0$.

Khi $2024 < x < 2025$, $(x-2024)^{2024} > 0$ và $(x-2025)^{2025} < 0$ nên $f'(x) < 0$.

Khi $x > 2025$, $(x-2024)^{2024} > 0$ và $(x-2025)^{2025} > 0$ nên $f'(x) > 0$.

Vậy $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x = 2025$, suy ra $x = 2025$ là điểm cực tiểu.
$f'(x)$ không đổi dấu tại $x = 2024$ nên $x = 2024$ không là điểm cực trị.
Do đó, hàm số không có điểm cực đại nào.

Câu 13:

Khẳng định nào sau đây đúng về hàm số $y=\sqrt{x^2+1}$ ?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có $y = \sqrt{x^2+1}$.

$y' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

$y'' = \frac{\sqrt{x^2+1} - x.\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} = \frac{x^2+1-x^2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$.

$y''(0) = 1 > 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$. Vậy đáp án đúng là hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$.

Câu 14:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=x(x-1)(x-2)^2(x^2-1)$ , $\forall x\in \mathbb{R}$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Lời giải: