Câu hỏi:

Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số $y=x^4-4x^2+3$, ta thực hiện các bước sau:
1. Tính đạo hàm bậc nhất: $y' = 4x^3 - 8x$
2. Giải phương trình $y' = 0$ để tìm các điểm tới hạn: $4x^3 - 8x = 0 \Rightarrow 4x(x^2 - 2) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm\sqrt{2}$
3. Tính đạo hàm bậc hai: $y'' = 12x^2 - 8$
4. Xét dấu của đạo hàm bậc hai tại các điểm tới hạn:
* $y''(0) = 12(0)^2 - 8 = -8 < 0$ (cực đại)
* $y''(\sqrt{2}) = 12(\sqrt{2})^2 - 8 = 12(2) - 8 = 24 - 8 = 16 > 0$ (cực tiểu)
* $y''(-\sqrt{2}) = 12(-\sqrt{2})^2 - 8 = 12(2) - 8 = 24 - 8 = 16 > 0$ (cực tiểu)
5. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực tiểu:
* $y(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^4 - 4(\sqrt{2})^2 + 3 = 4 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$
* $y(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^4 - 4(-\sqrt{2})^2 + 3 = 4 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$
Vậy, giá trị cực tiểu của hàm số là -1.

Để hàm số có cực trị, đạo hàm của nó phải đổi dấu.
Ta xét đạo hàm của từng hàm số:
- y=3x^3-2x => y'=9x^2-2. y'=0 có 2 nghiệm phân biệt, nên hàm số có cực trị.
- y=2x^3-x => y'=6x^2-1. y'=0 có 2 nghiệm phân biệt, nên hàm số có cực trị.
- y=-2x^3-3x => y'=-6x^2-3. y' < 0 với mọi x, nên hàm số không có cực trị.
- y=-3x^3+2x => y'=-9x^2+2. y'=0 có 2 nghiệm phân biệt, nên hàm số có cực trị.
Vậy, hàm số y=-2x^3-3x không có cực trị.

Để tìm số điểm cực trị của hàm số $y=(x+2)^3(x-4)^4$, ta thực hiện các bước sau:

• Tính đạo hàm bậc nhất $y'$:
  
  $y' = 3(x+2)^2(x-4)^4 + 4(x+2)^3(x-4)^3 = (x+2)^2(x-4)^3[3(x-4) + 4(x+2)] = (x+2)^2(x-4)^3(3x - 12 + 4x + 8) = (x+2)^2(x-4)^3(7x - 4)$


• Tìm các điểm mà $y' = 0$ hoặc $y'$ không xác định:
  
  $y' = 0$ khi $(x+2)^2 = 0$ hoặc $(x-4)^3 = 0$ hoặc $(7x-4) = 0$.
  
  Điều này dẫn đến $x = -2$, $x = 4$, hoặc $x = \frac{4}{7}$.


• Xét dấu của $y'$ để xác định các điểm cực trị:
  
  
  
  
  • $x = -2$: Vì $(x+2)^2$ luôn không âm và không đổi dấu tại $x = -2$, nên $x=-2$ không là điểm cực trị.
  
  
  • $x = 4$: Vì $(x-4)^3$ đổi dấu tại $x = 4$, nên $x=4$ là một điểm cực trị.
  
  
  • $x = \frac{4}{7}$: Vì $(7x-4)$ đổi dấu tại $x = \frac{4}{7}$, nên $x=\frac{4}{7}$ là một điểm cực trị.
  
  
  
  

Vậy, hàm số có 2 điểm cực trị là $x = 4$ và $x = \frac{4}{7}$.

Để tìm số điểm cực trị của hàm số, ta cần tìm đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0.


$y = \dfrac{1}{4}x^5 - 2x^3 + 6$


$y' = \dfrac{5}{4}x^4 - 6x^2$


Giải phương trình $y' = 0$:


$\dfrac{5}{4}x^4 - 6x^2 = 0$


$x^2(\dfrac{5}{4}x^2 - 6) = 0$


Suy ra $x^2 = 0$ hoặc $\dfrac{5}{4}x^2 = 6$


$x = 0$ (nghiệm kép) hoặc $x^2 = \dfrac{24}{5}$


$x = 0$ hoặc $x = \pm \sqrt{\dfrac{24}{5}} = \pm 2\sqrt{\dfrac{6}{5}}$


Vì $x=0$ là nghiệm kép nên đạo hàm không đổi dấu khi qua điểm này, do đó $x=0$ không phải là điểm cực trị.


Vậy hàm số có 2 điểm cực trị là $x = 2\sqrt{\dfrac{6}{5}}$ và $x = -2\sqrt{\dfrac{6}{5}}$.

Ta có $y' = -4x^3 - 6x = -2x(2x^2 + 3)$.
$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$.
$y'' = -12x^2 - 6$.
$y''(0) = -6 < 0$ nên $x = 0$ là điểm cực đại.
Vì bậc của hàm số là 4 và hệ số $a = -1 < 0$ nên hàm số có một cực đại duy nhất.