Câu hỏi:

Hàm số gián đoạn tại một điểm khi đồ thị của nó bị đứt đoạn tại điểm đó.
Nhìn vào đồ thị, ta thấy hàm số bị gián đoạn tại $x = 2$.

Để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=-2$, ta cần có:

• $f(-2)$ tồn tại.


• $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) = f(-2)$.

Ta có:

• $f(-2) = 3(-2) - 1 = -7$.


• $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^-} (3x - 1) = 3(-2) - 1 = -7$.


• $\lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2^+} (ax - 3) = a(-2) - 3 = -2a - 3$.

Để hàm số liên tục tại $x=-2$, ta cần có:

$-2a - 3 = -7$

$\Leftrightarrow -2a = -4$

$\Leftrightarrow a = 2$

Vậy, $a = 2$.

a) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + n - {n^2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^2}\left( {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{n} - 1} \right) = -\infty $ vì $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^2} = +\infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{n} - 1} \right) = -1$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 4} - 2}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 4} - 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 4} + 2} \right)}}{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 4} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + 4 - 4}}{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 4} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 4} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 4} + 2}} = \frac{0}{{\sqrt 4 + 2}} = 0$

Câu hỏi này không phải là trắc nghiệm và không có các lựa chọn để chọn đáp án đúng. Đây là một bài toán hình học không gian yêu cầu giải quyết hai phần: tìm giao điểm và chứng minh song song.

Gọi $S_0$ là diện tích hình vuông ban đầu, $S_1$ là diện tích hình vuông thứ nhất sau khi vẽ, $S_2, S_3, ...$ là diện tích các hình vuông tiếp theo.\nTa có $S_0 = 4^2 = 16 \text{ m}^2$.\nSau mỗi lần vẽ, diện tích hình vuông mới bằng một nửa diện tích hình vuông trước đó. Vậy, $S_n = \dfrac{S_{n-1}}{2}$.\nDiện tích các tam giác được tô màu ở bước thứ $n$ là $T_n = \dfrac{1}{2}S_n$.\nTổng diện tích các tam giác được tô màu sau 10 lần lặp lại là:\n$S = T_0 + T_1 + T_2 + ... + T_{10} = \dfrac{S_0}{2} + \dfrac{S_1}{2} + \dfrac{S_2}{2} + ... + \dfrac{S_{10}}{2} = \dfrac{1}{2} (S_0 + S_1 + S_2 + ... + S_{10})$\n$S = \dfrac{1}{2} \left(16 + \dfrac{16}{2} + \dfrac{16}{4} + ... + \dfrac{16}{2^{10}} \right) = 8 \left(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{2^{10}} \right)$\nĐây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1 = 1$, $q = \dfrac{1}{2}$.\n$S = 8 \cdot \dfrac{1 - (\dfrac{1}{2})^{11}}{1 - \dfrac{1}{2}} = 8 \cdot \dfrac{1 - \dfrac{1}{2^{11}}}{\dfrac{1}{2}} = 16 \left(1 - \dfrac{1}{2^{11}}\right) = 16 - \dfrac{16}{2^{11}} = 16 - \dfrac{1}{2^7} = 16 - \dfrac{1}{128} = \dfrac{2048 - 1}{128} \approx 15.9921875$\nSố tiền cần trả là: $15.9921875 \times 80000 = 1279375$ đồng. Tuy nhiên do đề bài yêu cầu tô kín màu lên 2 tam giác đối diện ở bước đầu nên diện tích tô màu thực tế sẽ là:\n $S' = T_1 + T_2 + ... + T_{10} = \dfrac{S_1}{2} + \dfrac{S_2}{2} + ... + \dfrac{S_{10}}{2} = \dfrac{1}{2} (S_1 + S_2 + ... + S_{10}) = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{16}{2} + \dfrac{16}{4} + ... + \dfrac{16}{2^{10}} \right)$\n$S' = \dfrac{1}{2} \left(8 + 4 + 2 + 1 + \dfrac{1}{2} + ... + \dfrac{1}{2^9} \right)= 4 \left(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{2^9} \right)= 4 \cdot \dfrac{1 - (\dfrac{1}{2})^{10}}{1 - \dfrac{1}{2}} = 4 \cdot \dfrac{1 - \dfrac{1}{2^{10}}}{\dfrac{1}{2}} = 8 \left(1 - \dfrac{1}{2^{10}}\right) = 8 - \dfrac{8}{2^{10}} = 8 - \dfrac{1}{2^7} = 8 - \dfrac{1}{128} = \dfrac{1024 - 1}{128} = \dfrac{1023}{128} \approx 7.9921875$\nVậy tổng diện tích cần sơn sẽ là diện tích hình vuông ban đầu trừ đi diện tích chưa sơn:\n$S'' = 16 - S' = 16 - \dfrac{1023}{128} = \dfrac{2048 - 1023}{128} = \dfrac{1025}{128} = 8.0078125$\nDo đó số tiền cần trả là: $8.0078125 \times 80000 = 640625$ đồng.\nTuy nhiên nếu đề bài yêu cầu tô thêm phần diện tích đã tô thì tổng diện tích sẽ là:\n$S_{total} = 16 + S' = 16 + \dfrac{1023}{128} = \dfrac{2048 + 1023}{128} = \dfrac{3071}{128} = 24.0 \text{ m}^2$.\nTổng số tiền cần trả là: $\dfrac{3071}{128} \times 80000 = 1919375$ đồng, không có trong đáp án.\nVì hình vuông mới có các đỉnh là trung điểm nên diện tích tô lần thứ $i+1$ sẽ là $1/2$ lần diện tích tô lần thứ $i$, do đó số tiền cần trả là $T = 16*80000 * (1 + 1/2 + ... + 1/2^{10}) = 16*80000 * 2 = 1023/1024 = 256(1023) = 10920533$