Câu hỏi:

Đường thẳng $x=1$ là trục đối xứng của đồ thị hàm số $y=ax^2+bx+c$ khi và chỉ khi $-\frac{b}{2a} = 1$.

• Đáp án A: $y = -2x^2 + 4x + 1$ có $-\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-2)} = 1$.
• Đáp án B: $y = 2x^2 + 4x + 3$ có $-\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(2)} = -1$.
• Đáp án C: $y = 2x^2 - 2x + 1$ có $-\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(2)} = \frac{1}{2}$.
• Đáp án D: $y = x^2 - x + 5$ có $-\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2(1)} = \frac{1}{2}$.

Vậy, đáp án A đúng.

Để hàm số $f(x) = \frac{\sqrt{2-x} + \sqrt{2+x}}{x}$ xác định, cần có các điều kiện sau:

• $2 - x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 2$
• $2 + x \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2$
• $x \neq 0$

Kết hợp các điều kiện trên, ta có: $-2 \leq x \leq 2$ và $x \neq 0$. Vậy tập xác định của hàm số là $D = [-2; 2] \setminus \{0\}$.

Hàm số $y = ax + b$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $a > 0$.
Trong trường hợp này, $a = m - 2021$. Vậy, điều kiện để hàm số đồng biến là:
$m - 2021 > 0 \Leftrightarrow m > 2021$.

Ta có $\tan \alpha = \frac{-1}{3}$. Vì $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ nên $\alpha$ nằm trong góc phần tư thứ nhất. Do đó, $\tan \alpha$ phải dương. Tuy nhiên, đề bài cho $\tan \alpha$ âm, vậy đề bài sai. Giả sử đề bài cho $\tan \alpha = \frac{1}{3}$.
Khi đó, ta có:

• $\tan^2 \alpha = \frac{1}{9}$
• $\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + \tan^2 \alpha = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9}$
• $\cos^2 \alpha = \frac{9}{10}$
• $\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{10}} = \pm \frac{3}{\sqrt{10}} = \pm \frac{3\sqrt{10}}{10}$

Vì $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, nên $\cos \alpha > 0$. Vậy $\cos \alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Ta có:
$\sin{178^\circ} = \sin{(180^\circ - 2^\circ)} = \sin{2^\circ}$
$\cos{106^\circ} = \cos{(90^\circ + 16^\circ)} = -\sin{16^\circ}$
Vậy biểu thức trở thành:
$\sin{12^\circ} + \sin{2^\circ} - \sin{16^\circ} + \cos{74^\circ} = \sin{12^\circ} + \sin{2^\circ} - \sin{16^\circ} + \sin{16^\circ} = \sin{12^\circ} + \sin{12^\circ} = 2\sin{12^\circ}$
Vì $\cos(90 - x) = sin(x)$ nên $\cos{74^\circ} = \sin{16^\circ}$
$\sin{178^\circ} = \sin{2^\circ}$
$\cos{106^\circ} = \cos{(180-74)^\circ} = -\cos{74^\circ}$
Vậy
$\sin{12^\circ} + \sin{178^\circ} + \cos{106^\circ} + \cos{74^\circ} = \sin{12^\circ} + \sin{2^\circ} - \cos{74^\circ} + \cos{74^\circ} = \sin{12^\circ} + \sin{2^\circ} $