Hai chiếc máy bay không người lái cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Bắc \(20\left( km \right)\) và về phía Tây \(10\left( km \right)\), đồng thời cách mặt đất \(0,7\left( km \right)\). Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Đông \(30\left( km \right)\) và về phía Nam \(25\left( km \right)\), đồng thời cách mặt đất \(1\left( km \right)\). Hỏi hai chiếc máy bay cách nhau bao nhiêu \(km\)? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Thể tích của cả bể nhiên liệu là \(V=B\cdot h=5\pi \left( {{\text{m}}^{3}} \right)\).

Gọi \({{V}_{1}}\) là thể tích phần trống nhiên liệu trong bể.

Chọn hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ.

Ta có diện tích phần tô đậm là:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   S & =2\int\limits_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\left( \sqrt{1-{{x}^{2}}}-\frac{1}{2} \right)\text{d}x}=2\int\limits_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}\cdot \text{d}x}-2\int\limits_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{dx}  \\   {} & =2\int\limits_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}\cdot \text{d}x}-\frac{\sqrt{3}}{2}=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\sqrt{1-\text{si}{{\text{n}}^{2}}t}\text{cos}t\cdot \text{dt}}-\frac{\sqrt{3}}{2}  \\   {} & =2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}t\cdot \text{d}t}-\frac{\sqrt{3}}{2}=2\left( \frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{4} \right)-\frac{\sqrt{3}}{2}  \\   {} & =\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}.  \\\end{array}\)

Vậy thể tích phần trống trong bể là:

\({{V}_{1}}=\int\limits_{0}^{5}{\left( \frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4} \right)\text{d}x}=\left( \frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4} \right)\cdot 5\).

Vậy thể tích phần nhiên liệu trong bồn là:

\({{V}_{2}}=V-{{V}_{1}}=5\pi -\left( \frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4} \right)5\approx 12,6\left( \text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{m}}^{3}} \right)\).

Doanh thu của nhà máy khi sản xuất 1 tấn sản phẩm là \(P(x)\) triệu đồng.

Doanh thu của nhà máy khi sản xuất \(x\) tấn sản phẩm là \(xP(x)\) triệu đồng.

Chi phí của nhà máy khi sản xuất \(x\) tấn sản phẩm là \(C(x)\) triệu đồng.

Vì Lợi nhuận = Doanh thu - Chi phí nên ta có lợi nhuận của nhà máy \(A\) khi sản xuất \(x\) tấn sản phẩm là:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   H(x) & =xP(x)-C(x)=x\left( 45-0,001{{x}^{2}} \right)-(100+30x)  \\   {} & =-0,001{{x}^{3}}+15x-100,\text{ vi }0\le x\le 100.  \\\end{array}\)

\({{H}^{\prime }}(x)=-0,003{{x}^{2}}+15\).

\({{H}^{\prime }}(x)=0\Leftrightarrow -0,003{{x}^{2}}+15=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x=50\sqrt{2}  \\   x=-50\sqrt{2}  \\\end{array} \right.\)

Chỉ có \(x=50\sqrt{2}\) thỏa mãn điều kiện.

Ta có: \(H(0)=-100;H(50\sqrt{2})=500\sqrt{2};H(100)=400\).

Vậy lợi nhuận lớn nhất khi \(A\) sản xuất \(50\sqrt{2}\approx 71\) tấn sản phẩm.

Gọi \(A\): "Lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp II";

\(B\): "Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp I, trong đó có đúng 1 quả màu vàng".

Ta có \(\overline{B}\): ''Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp I, trong đó có đúng 2 quả màu vàng".

Trường hợp 1: \(B\) xảy ra

+) Số cách lấy 4 quả bóng bàn ở hộp \(I\) là \(C_{5}^{4}\), có 1 cách lấy 3 quả trắng và 2 cách lấy 1 quả vàng. Ta có \(P\left( B \right)=\frac{1.2}{C_{5}^{4}}=\frac{2}{5}\).

+) Sau khi bỏ 4 quả ở hộp I sang hộp II thì hộp II sẽ có 9 quả màu trắng và 5 quả màu vàng.

Do đó \(P\left( A\left| B \right. \right)=\frac{5}{14}\).

Trường hợp 2: \(\overline{B}\) xảy ra

+) Số cách lấy 4 quả ở hộp I là \(C_{5}^{4}\), có \(C_{3}^{2}\) cách lấy ra 2 quả trắng và 1 cách lấy ra 2 quả màu vàng từ hộp I.

Ta có \(P\left( \overline{B} \right)=\frac{C_{3}^{2}.1}{C_{5}^{4}}=\frac{3}{5}\) hoặc có thể tính \(P\left( B \right)=1-P\left( \overline{B} \right)=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\).

+) Sau khi bỏ 4 quả ở hộp I sang hộp II thì hộp II sẽ có 8 quả màu trắng và 6 quả màu vàng.

Vậy \(P\left( A\left| \overline{B} \right. \right)=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}\).

Cuối cùng áp dụng công thức xác suất toàn phần:

\(P\left( A \right)=P\left( B \right).P\left( A\left| B \right. \right)+P\left( \overline{B} \right).P\left( A\left| \overline{B} \right. \right)=\frac{2}{5}.\frac{5}{14}+\frac{3}{5}.\frac{3}{7}=0,4\).

Do theo bảng nguyên hàm: \(\int{{{a}^{x}}\text{d}x=\frac{{{a}^{x}}}{\ln \,a}+C}\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,\,\,x=b\) được tính bởi công thức:\(S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|}\,\text{d}x\).