Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F trên miền xác định

Câu 6:

Cho bất phương trình x + y ≤ 2 (1). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

D. Bất phương trình (1) vô nghiệm.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Bất phương trình $x + y \leq 2$ có vô số nghiệm. Ví dụ, (0, 0), (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) đều là nghiệm của bất phương trình này. Do đó, khẳng định C là đúng.

Câu 7:

Một người nông dân dự định quy hoạch x sào đất trồng rau cải và y sào đất trồng cà chua. Biết rằng người nông dân chỉ có tối đa 900 nghìn đồng để mua hạt giống và giá tiền hạt giống cho mỗi sào đất trồng rau cải là 100 nghìn đồng, mỗi sào đất trồng cà chua là 50 nghìn đồng. Trong các hệ bất phương trình sau, hệ nào mô tả các ràng buộc đối với x, y ?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có các điều kiện sau:

$x \ge 0$ (diện tích trồng rau cải không âm)
$y \ge 0$ (diện tích trồng cà chua không âm)
Tổng chi phí không vượt quá 900 nghìn đồng: $100x + 50y \le 900$, tương đương $2x + y \le 18$

Vậy hệ bất phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + y \le 18\end{array} \right.$

Câu 8:

Cho hệ \[\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 1\\4x\,\, - \,y\, \le 2\\x \ge 0\end{array} \right.\]. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = x – y trên miền nghiệm của hệ đã cho là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm giá trị lớn nhất của $P = x - y$ trên miền nghiệm của hệ, ta thực hiện các bước sau: 1. Vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình: $x + y \le 1$, $4x - y \le 2$, $x \ge 0$. 2. Xác định các đỉnh của miền nghiệm. Các đỉnh này là giao điểm của các đường thẳng biên. 3. Tính giá trị của $P = x - y$ tại mỗi đỉnh. 4. Giá trị lớn nhất trong các giá trị tính được là giá trị lớn nhất của $P$. Giải hệ phương trình: $x + y = 1$ và $4x - y = 2$ => $5x = 3$ => $x = \frac{3}{5}$, $y = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$. Điểm $(\frac{3}{5}, \frac{2}{5})$ $x + y = 1$ và $x = 0$ => $x = 0, y = 1$. Điểm $(0, 1)$ $4x - y = 2$ và $x = 0$ => $x = 0, y = -2$. Điểm $(0, -2)$ Miền nghiệm là đa giác có các đỉnh $(0,0);(1/2,0);(3/5, 2/5); (0,1)$. * $P(0,0)= 0 - 0 = 0$ * $P(1/2,0)= 1/2 - 0 = 1/2$ * $P(3/5, 2/5) = 3/5 - 2/5 = 1/5$ * $P(0,1) = 0 -1 = -1$ Giá trị lớn nhất của P là $\frac{1}{2}$

Câu 9:

Cho hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x - y > 1\\\frac{1}{3}x\,\, - \,y\, \le 2\end{array} \right.\] có tập nghiệm là S. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta xét từng đáp án:

A. Với (0; 1) ta có: $0 - 1 = -1 \ngtr 1$ nên (0; 1) không thuộc S.
B. Với (0; -1) ta có: $0 - (-1) = 1 \ngtr 1$ nên (0; -1) không thuộc S.
C. Với $(\frac{1}{3}; 1)$ ta có: $\frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3} \ngtr 1$ nên $(\frac{1}{3}; 1)$ không thuộc S.
D. Với $(-\frac{1}{3}; 1)$ ta có: $-\frac{1}{3} - 1 = -\frac{4}{3} < 1$ và $\frac{1}{3}(-\frac{1}{3}) - 1 = -\frac{1}{9} - 1 = -\frac{10}{9} < 2$. Vậy $(-\frac{1}{3}; 1)$ không thuộc S.

Vậy đáp án đúng là D.

Câu 10:

Miền nghiệm của bất phương trình: –3x + y > 0 chứa điểm nào trong các điểm sau:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta cần kiểm tra điểm nào thỏa mãn bất phương trình $–3x + y > 0$.

A. (–3; 0): $–3(–3) + 0 = 9 > 0$. Thỏa mãn.
B. (3; 2): $–3(3) + 2 = –9 + 2 = –7 \ngtr 0$. Không thỏa mãn.
C. (0; 0): $–3(0) + 0 = 0 \ngtr 0$. Không thỏa mãn.
D. (1; 1): $–3(1) + 1 = –3 + 1 = –2 \ngtr 0$. Không thỏa mãn.

Vậy, điểm (–3; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Câu 11:

Một công ty dự định sản xuất hai loại sản phẩm I và II. Các sản phẩm này được chế tạo từ hai loại nguyên liệu A, B. Số kilôgam dự trữ từng loại nguyên liệu và số kilôgam từng loại cần dùng để sản xuất 1 kg sản phẩm được cho trong bảng sau :

Loại nguyên liệu	Số kilôgam nguyên liệu dự trữ	Số kilôgam nguyên liệu cần dùng sản xuất 1 kg sản phẩm
Loại nguyên liệu	Số kilôgam nguyên liệu dự trữ	I	II
A	8	2	1
B	12	2	2

Công ty đó nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để tiền lãi thu về lớn nhất ? Biết rằng, mỗi kilogam sản phẩm loại I lãi 10 triệu đồng, mỗi sản phẩm loại II lãi 20 triệu đồng.

Lời giải: