Câu hỏi:

Nhận thấy $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$, vậy tam giác này là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông là 5 và 12.
Diện tích tam giác là: $S = \frac{1}{2} * 5 * 12 = 30$.

Ta có $3\cos{x} + 2\sin{x} = 2$. Suy ra $3\cos{x} = 2 - 2\sin{x}$. Bình phương hai vế, ta được: $9\cos^2{x} = (2 - 2\sin{x})^2 \Leftrightarrow 9(1 - \sin^2{x}) = 4 - 8\sin{x} + 4\sin^2{x} \Leftrightarrow 9 - 9\sin^2{x} = 4 - 8\sin{x} + 4\sin^2{x} \Leftrightarrow 13\sin^2{x} - 8\sin{x} - 5 = 0$. Giải phương trình bậc hai theo $\sin{x}$, ta được: $\sin{x} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot 13 \cdot 5}}{26} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 260}}{26} = \frac{8 \pm \sqrt{324}}{26} = \frac{8 \pm 18}{26}$. Vậy $\sin{x} = \frac{8 + 18}{26} = \frac{26}{26} = 1$ (loại vì $\sin{x} < 0$) hoặc $\sin{x} = \frac{8 - 18}{26} = \frac{-10}{26} = -\frac{5}{13}$. Kiểm tra lại với $\sin{x} = -\frac{5}{13}$, ta có $\cos{x} = \frac{2 - 2\sin{x}}{3} = \frac{2 - 2(-\frac{5}{13})}{3} = \frac{2 + \frac{10}{13}}{3} = \frac{\frac{36}{13}}{3} = \frac{12}{13}$. Thay vào phương trình ban đầu: $3(\frac{12}{13}) + 2(-\frac{5}{13}) = \frac{36}{13} - \frac{10}{13} = \frac{26}{13} = 2$ (thỏa mãn). Vậy $\sin{x} = -\frac{5}{13}$.

Ta có $\widehat{C} = 180^\circ - \widehat{A} - \widehat{B} = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ = 60^\circ$.
Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABC$, ta có:
$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}$
$\Rightarrow \frac{AB}{AC} = \frac{\sin C}{\sin B} = \frac{\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.
Vậy đáp án là C.

Ta có $\tan \alpha = 2$, suy ra $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 2$, hay $\sin \alpha = 2\cos \alpha$.
Khi đó, ta có:
$M = \frac{{3\sin \alpha - 2\cos \alpha }}{{5\cos \alpha + 7\sin \alpha }} = \frac{{3(2\cos \alpha) - 2\cos \alpha }}{{5\cos \alpha + 7(2\cos \alpha) }} = \frac{{6\cos \alpha - 2\cos \alpha }}{{5\cos \alpha + 14\cos \alpha }} = \frac{{4\cos \alpha }}{{19\cos \alpha }} = \frac{4}{19}$.
Vậy đáp án là B.

Áp dụng định lý sin trong tam giác $ABC$, ta có:
$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$
$\Rightarrow AC = \frac{AB \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{3 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{3 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$