Câu hỏi:

Gọi \(A\) là mục tiêu; \(B\) là vị trí chiến sỹ và \(BD\) là đường bơi của chiến sỹ.

Chọn một đơn vị độ dài là 100m.

Suy ra \(BC=1;\) \(AB=10;\) \(AC=3\sqrt{11}\).

Gọi vận tốc bơi của chiến sỹ là một đơn vị vận tốc thì vận tốc chạy của chiến sỹ là 3 đơn vị vận tốc.

Gọi \(x\) là quãng đường chiến sỹ bơi suy ra \(BD=x\).

Vậy quãng đường chiến sỹ chạy là:

\(AD=AC-CD=3\sqrt{11}-\sqrt{{{x}^{2}}-1}\).

Thời gian chiến sỹ đến được mục tiêu là:

\(t=\frac{3\sqrt{11}-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}{3}+\frac{x}{1}=\sqrt{11}-\frac{1}{3}\sqrt{{{x}^{2}}-1}+x\).

Xét hàm \(f\left( x \right)=\sqrt{11}-\frac{1}{3}\sqrt{{{x}^{2}}-1}+x\) có:

\({f}'\left( x \right)=1-\frac{1}{3}\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{3\sqrt{2}}{4}\left( \text {thỏa mãn} \right) \\  & x=-\frac{3\sqrt{2}}{4}\left( \text {loại} \right) \\ \end{align} \right.\)

Bảng biến thiên:

Vậy thời gian chiến sỹ đến mục tiêu ngắn nhất khi:

\(f{{\left( x \right)}_{\min }}\Rightarrow x=\frac{3\sqrt{2}}{4}\).

Vậy chiến sỹ phải bơi \(\frac{3\sqrt{2}}{4}.100=75\sqrt{2}\left( m \right)\approx 106\left( m \right)\).

Gọi \(A\):"Lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp II" và

\(B\):"Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp I, trong đó có đúng 1 quả màu vàng".

Ta có \(\overline{B}\): ''Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp I, trong đó có đúng 2 quả màu vàng".

Trường hợp 1: \(B\) xảy ra.

+) Số cách lấy 4 quả bóng bàn ở hộp \(I\) là \(C_{5}^{4}\), có 1 cách lấy 3 quả trắng và 2 cách lấy 1 quả vàng. Ta có \(P\left( B \right)=\frac{1.2}{C_{5}^{4}}=\frac{2}{5}\).

+) Sau khi bỏ 4 quả ở hộp I sang hộp II thì hộp II sẽ có 9 quả màu trắng và 5 quả màu vàng.

Do đó \(P\left( A\left| B \right. \right)=\frac{5}{14}\).

Trường hợp 2: \(\overline{B}\) xảy ra.

+) Số cách lấy 4 quả ở hộp I là \(C_{5}^{4}\), có \(C_{3}^{2}\) cách lấy ra 2 quả trắng và 1 cách lấy ra 2 quả màu vàng từ hộp I.

Ta có \(P\left( \overline{B} \right)=\frac{C_{3}^{2}.1}{C_{5}^{4}}=\frac{3}{5}\) hoặc có thể tính \(P\left( B \right)=1-P\left( \overline{B} \right)=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\).

+) Sau khi bỏ 4 quả ở hộp I sang hộp II thì hộp II sẽ có 8 quả màu trắng và 6 quả màu vàng.

Vậy \(P\left( A\left| \overline{B} \right. \right)=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}\).

Cuối cùng áp dụng công thức xác suất toàn phần:

\(P\left( A \right)=P\left( B \right).P\left( A\left| B \right. \right)+P\left( \overline{B} \right).P\left( A\left| \overline{B} \right. \right)=\frac{2}{5}.\frac{5}{14}+\frac{3}{5}.\frac{3}{7}=0,4\).

Ta có \(\int{{{x}^{3}}}dx=\frac{{{x}^{4}}}{4}+C\).

Ta có bảng thống kê sau:

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\overline{x}=\frac{30.9+40.7+50.5+60.10+70.9}{40}=50,75\).

Phương sai của mẫu số liệu là:

\({{s}^{2}}=\frac{9.{{\left( 30-50,75 \right)}^{2}}+7.{{\left( 40-50,75 \right)}^{2}}+5.{{\left( 50-50,75 \right)}^{2}}+10.{{\left( 60-50,75 \right)}^{2}}+9.{{\left( 70-50,75 \right)}^{2}}}{40}\)

\(=221,9375\).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: \(s=\sqrt{221,9375}\approx 14,9\).