Có hai hộp bóng bàn, các quả bóng bàn có kích thước và hình dạng như nhau. Hộp I chứa 3 bóng bàn màu trắng và 2 bóng bàn màu vàng, hộp II chứa 6 bóng bàn màu trắng và 4 bóng bàn màu vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng bàn ở hộp I bỏ vào hộp II rồi lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng bàn từ hộp II ra. Tính xác suất để quả bóng bàn lấy từ hộp II có màu vàng.

Gọi \(A\):"Lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp II" và

\(B\):"Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp I, trong đó có đúng 1 quả màu vàng".

Ta có \(\overline{B}\): ''Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp I, trong đó có đúng 2 quả màu vàng".

Trường hợp 1: \(B\) xảy ra.

+) Số cách lấy 4 quả bóng bàn ở hộp \(I\) là \(C_{5}^{4}\), có 1 cách lấy 3 quả trắng và 2 cách lấy 1 quả vàng. Ta có \(P\left( B \right)=\frac{1.2}{C_{5}^{4}}=\frac{2}{5}\).

+) Sau khi bỏ 4 quả ở hộp I sang hộp II thì hộp II sẽ có 9 quả màu trắng và 5 quả màu vàng.

Do đó \(P\left( A\left| B \right. \right)=\frac{5}{14}\).

Trường hợp 2: \(\overline{B}\) xảy ra.

+) Số cách lấy 4 quả ở hộp I là \(C_{5}^{4}\), có \(C_{3}^{2}\) cách lấy ra 2 quả trắng và 1 cách lấy ra 2 quả màu vàng từ hộp I.

Ta có \(P\left( \overline{B} \right)=\frac{C_{3}^{2}.1}{C_{5}^{4}}=\frac{3}{5}\) hoặc có thể tính \(P\left( B \right)=1-P\left( \overline{B} \right)=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\).

+) Sau khi bỏ 4 quả ở hộp I sang hộp II thì hộp II sẽ có 8 quả màu trắng và 6 quả màu vàng.

Vậy \(P\left( A\left| \overline{B} \right. \right)=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}\).

Cuối cùng áp dụng công thức xác suất toàn phần:

\(P\left( A \right)=P\left( B \right).P\left( A\left| B \right. \right)+P\left( \overline{B} \right).P\left( A\left| \overline{B} \right. \right)=\frac{2}{5}.\frac{5}{14}+\frac{3}{5}.\frac{3}{7}=0,4\).