Để thành lập đội tuyển quốc gia môn tin học, người ta tổ chức một cuộc thi tuyển gồm 3 vòng. Vòng thứ nhất lấy 60% thí sinh dự thi, vòng thứ hai lấy 20% thí sinh đã qua vòng thứ nhất và vòng thứ ba lấy 10% thí sinh đã qua vòng thứ hai. Để vào được đội tuyển, thí sinh phải vượt qua được cả ba vòng thi. Xác suất một thí sinh dự thi bất kì:

Ta có:

\(d\left( M,\left( A'BC \right) \right)=\frac{1}{2}d\left( A,\left( A'BC \right) \right)=\frac{1}{2}.\frac{3.\frac{\sqrt{3}}{2}.3}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2}.3 \right)}^{2}}}}=\frac{3\sqrt{21}}{14}\).

Mặt khác, \({{S}_{A'BC}}=\frac{1}{2}.3.\frac{3\sqrt{7}}{2}=\frac{9\sqrt{7}}{4}\).

Vậy \({{V}_{M.A'BC}}=\frac{1}{3}.\frac{3\sqrt{21}}{14}.\frac{9\sqrt{7}}{4}\approx 1,9\).

Đầu tiên ta có diện tích của phần tô vàng (tức diện tích phần kẻ sọc) là (áp dụng công thức tính nhanh diện tích parabol) ta có:

\({{S}_{v}}=\frac{2}{3}h.40=\frac{1600}{3}\to h=20\to d\left( C;Ox \right)=60-20=40\to C\left( 20;40 \right)\).

Xét parabol phần tô vàng có dạng \(\left( P \right):y=a{{x}^{2}}+bx+c\).

Biết \(\left( P \right)\cap Oy=D\left( 0;60 \right)\) và \(C\left( 20;40 \right)\in \left( P \right)\) và vừa là đỉnh là parabol, dễ dàng suy ra được \(x=20\) là trục đối xứng tức \(\left( P \right):y=a{{\left( x-20 \right)}^{2}}+40\).

Với \(C\left( 20;40 \right)\in \left( P \right)\) ta giải ra \(a=\frac{1}{20}\) tức ta có:

\(\left( P \right):y=\frac{1}{20}{{\left( x-20 \right)}^{2}}+40\).

Tiếp đến xét đường thẳng \(AB\) đi qua 2 điểm \(A\left( 10;0 \right)\) và \(B\left( 70;60 \right)\), khi ấy ta có

\(\left( AB \right):y=x-10\).

Gọi \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in f\left( x \right),N\left( x;y \right)\in g\left( x \right)\). Do đồ thị hàm số của \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(AB\) nên suy ra ta có hệ sau

\(\left\{\begin{array}{l}\frac{x+x_0}{2}-\frac{y+y_0}{2}-10=0 \\ \frac{x-x_0}{1}=\frac{y-y_0}{-1}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_0=y+10 \\ y_0=x-10\end{array}\right.\right.\),

mà \(M\in \left( P \right):y=\frac{1}{20}{{\left( x-20 \right)}^{2}}+40\).

Nên khi ấy ta có:

\({{y}_{0}}=\frac{1}{20}{{\left( {{x}_{0}}-20 \right)}^{2}}+40\Rightarrow x-10=\frac{1}{20}{{\left( y+10-20 \right)}^{2}}+40\).

Suy ra

\(x=\frac{1}{20}{{\left( y-10 \right)}^{2}}+50\ge 50\to x\ge 50\to y=10\pm \sqrt{20x-1000}\).

Khi ấy phần tô xanh (phần in đậm) giới hạn bởi:

\(\left\{ \begin{align}  & y=10\pm \sqrt{20x-1000} \\  & x=50,x=80 \\ \end{align} \right.\)

Suy ra diện tích là:

\({{S}_{x}}=\int\limits_{50}^{80}{\left| \sqrt{20x-1000}+10 \right|dx}+\int\limits_{50}^{55}{\left| -\sqrt{20x-1000}+10 \right|dx}\approx 773,231\left( c{{m}^{2}} \right)\).

Do mỗi lọ sơn chỉ sơn tối đa \(30c{{m}^{2}}\) nên lần lượt suy ra:

Số lọ sơn vàng là

\(\frac{{{S}_{v}}}{30}=\frac{{1600}/{3}\;}{30}\approx 17,77\) (lọ) tức cần 18 lọ sơn vàng.

Số lọ sơn xanh là

\(\frac{{{S}_{x}}}{30}=\frac{773,231}{30}\approx 25,77\) (lọ) tức cần 26 lọ sơn xanh.

Vậy số tiền cần dùng là

\(18\times 50,000+26\times 30,000=1,680,000\) (đồng) tức 1,68 triệu đồng.

Giá bán và số lượng bán ra:

Ban đầu, nhà sản xuất bán 2000 chiếc điện thoại với giá 20 triệu đồng mỗi chiếc.

Nếu giảm giá mỗi chiếc điện thoại đi 1 triệu đồng, số lượng bán ra sẽ tăng thêm 200 chiếc mỗi tuần. Giả sử \(x\in \mathbb{Z}\) là số lượng điện thoại bán ra. Ta có:

\(p\left( x \right)=20-1.\frac{x-2000}{200}=30-0,005x\) (triệu đồng).

Đây là công thức để tính giá bán mỗi chiếc điện thoại khi số lượng bán ra là \(x\) chiếc.

Chi phí ban đầu cho mỗi chiếc điện thoại là 10 triệu đồng.

Khi giảm giá bán đi 1 triệu đồng, chi phí sản xuất tăng thêm \(0,5\) triệu đồng.

Số tiền mà giá bán đã giảm so với mức ban đầu (20 triệu đồng):

\(20-p\left( x \right)=20-\left( 30-0,005x \right)=0,005x-10\).

Chi phí sản xuất mỗi chiếc điện thoại:

\({{C}_{m}}\left( x \right)=10+0,5\left( 0,005x-10 \right)=5+0,0025x\).

Tổng doanh thu khi bán \(x\) chiếc điện thoại sẽ là:

\(R\left( x \right)=p\left( x \right).x=\left( 30-0,005x \right)x=30x-0,005{{x}^{2}}\) (triệu đồng).

Tổng chi phí khi bán \(x\) chiếc điện thoại sẽ là:

\(C\left( x \right)=20000+\left( 5+0,0025x \right).x=20000+5x+0,0025{{x}^{2}}\) (triệu đồng).

Lợi nhuận khi bán \(x\) chiếc điện thoại sẽ là:

\(P\left( x \right)=R\left( x \right)-C\left( x \right)=30x-0,005{{x}^{2}}-\left( 20000+5x+0,0025{{x}^{2}} \right)\)

\(P\left( x \right)=25x-20000-0,0075{{x}^{2}}\) (triệu đồng).

Suy ra \(P{{\left( x \right)}_{\max }}=\frac{2500}{3}\) tại \(x=\frac{5000}{3}\).

Vì \(x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=1666\Rightarrow p\left( 1666 \right)=21,7\) triệu đồng.

Trước hết ta lần lượt gọi các biến cố \({{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},{{A}_{4}}\) (biết rằng chúng độc lập với nhau):

\({{A}_{1}}:\) "Sinh viên được chọn là sinh viên giỏi".

\({{A}_{2}}:\) "Sinh viên được chọn là sinh viên khá".

\({{A}_{3}}:\) "Sinh viên được chọn là sinh viên trung bình".

\({{A}_{4}}:\) "Sinh viên được chọn là sinh viên yếu".

Gọi biến cố \(B:\) "Sinh viên được chọn trả lời đúng 3 câu".

Theo giả thiết ta có:

\(P\left( {{A}_{1}} \right)=0,1;P\left( {{A}_{2}} \right)=0,2;P\left( {{A}_{3}} \right)=0,3;P\left( {{A}_{4}} \right)=0,4\).

Và:

\(P\left( H|{{A}_{1}} \right)=1;P\left( H|{{A}_{2}} \right)={{0,75}^{3}};P\left( H|{{A}_{3}} \right)={{0,5}^{3}};P\left( H|{{A}_{4}} \right)={{0,25}^{3}}\).

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta suy ra:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   P\left( H \right) & =P\left( H|{{A}_{1}} \right).P\left( {{A}_{1}} \right)+P\left( H|{{A}_{2}} \right).P\left( {{A}_{2}} \right)  +P\left( H|{{A}_{3}} \right).P\left( {{A}_{3}} \right)+P\left( H|{{A}_{4}} \right).P\left( {{A}_{4}} \right)  \\\end{array}\)

\(\Rightarrow P\left( H \right)=1.0,1+{{0,75}^{3}}.0,2+{{0,5}^{3}}.0,3+{{0,25}^{3}}.0,4=0,228125\).

Khi ấy xác suất cần tìm chính bằng:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   P\left( {{A}_{2}}+{{A}_{3}}|H \right) & =\frac{P\left( \left( {{A}_{2}}+{{A}_{3}} \right)H \right)}{P\left( H \right)}=\frac{P\left( H{{A}_{2}} \right)+P\left( H{{A}_{3}} \right)}{P\left( H \right)}  \\   {} & =\frac{P\left( H|{{A}_{2}} \right).P\left( {{A}_{2}} \right)+P\left( H|{{A}_{3}} \right).P\left( {{A}_{3}} \right)}{P\left( H \right)}  \\   {} & =\frac{{{0,75}^{3}}.0,2+{{0,5}^{3}}.0,3}{0,228125}=\frac{39}{73}.  \\\end{array}\)

Vậy \(\left\{ \begin{align}  & m=39 \\  & n=73 \\ \end{align} \right.\to m.n=2847\).

Tính bậc của từng đỉnh A, B, C, D, E ta được đúng 2 điểm C, E có bậc lẻ (3)

Mà người đưa thư bắt đầu ở C nên tồn tại đường đi Euler và luôn kết thúc ở E.

Để tối ưu thì đầu tiên người đưa thư sẽ đi theo đường đi Euler và kết thúc ở E.

⇒ Số km lúc này sẽ là \(1+2+3+5+6+7+10=34\).

Để quay lại C và tối ưu nhất thì đi thẳng về C (E → C).

Số km lúc này sẽ là \(34+10=44~\) (tối ưu nhất).