Để trang trí cửa sổ hình chữ nhật với kích thước \(80cm\times 60cm\) thì anh Duy đã tô màu 2 hoạ tiết giới hạn bởi Parabol \(f\left( x \right)\) , hàm số \(g\left( x \right)\) và các cạnh của cửa sổ bằng màu vàng (kí hiệu sọc nghiêng) và màu xanh (vùng tô đậm) (như hình vẽ). Biết rằng đồ thị hàm số của\(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(AB\) và diện tích phần màu vàng bằng \(\frac{1600}{3}\left( c{{m}^{2}} \right)\). Biết mỗi lọ sơn, sơn được tối đa \(30c{{m}^{2}}\) thì tổng số tiền (đơn vị: triệu đồng và làm tròn đến phần trăm) bạn cần phải trả để trang trí cửa sổ bẳng bao nhiêu? Cho biết giá của một lọ sơn vàng là \(50.000\) đồng, giá của một lọ sơn xanh là \(30.000\) đồng (lọ sơn không bán lẻ).

Giá bán và số lượng bán ra:

Ban đầu, nhà sản xuất bán 2000 chiếc điện thoại với giá 20 triệu đồng mỗi chiếc.

Nếu giảm giá mỗi chiếc điện thoại đi 1 triệu đồng, số lượng bán ra sẽ tăng thêm 200 chiếc mỗi tuần. Giả sử \(x\in \mathbb{Z}\) là số lượng điện thoại bán ra. Ta có:

\(p\left( x \right)=20-1.\frac{x-2000}{200}=30-0,005x\) (triệu đồng).

Đây là công thức để tính giá bán mỗi chiếc điện thoại khi số lượng bán ra là \(x\) chiếc.

Chi phí ban đầu cho mỗi chiếc điện thoại là 10 triệu đồng.

Khi giảm giá bán đi 1 triệu đồng, chi phí sản xuất tăng thêm \(0,5\) triệu đồng.

Số tiền mà giá bán đã giảm so với mức ban đầu (20 triệu đồng):

\(20-p\left( x \right)=20-\left( 30-0,005x \right)=0,005x-10\).

Chi phí sản xuất mỗi chiếc điện thoại:

\({{C}_{m}}\left( x \right)=10+0,5\left( 0,005x-10 \right)=5+0,0025x\).

Tổng doanh thu khi bán \(x\) chiếc điện thoại sẽ là:

\(R\left( x \right)=p\left( x \right).x=\left( 30-0,005x \right)x=30x-0,005{{x}^{2}}\) (triệu đồng).

Tổng chi phí khi bán \(x\) chiếc điện thoại sẽ là:

\(C\left( x \right)=20000+\left( 5+0,0025x \right).x=20000+5x+0,0025{{x}^{2}}\) (triệu đồng).

Lợi nhuận khi bán \(x\) chiếc điện thoại sẽ là:

\(P\left( x \right)=R\left( x \right)-C\left( x \right)=30x-0,005{{x}^{2}}-\left( 20000+5x+0,0025{{x}^{2}} \right)\)

\(P\left( x \right)=25x-20000-0,0075{{x}^{2}}\) (triệu đồng).

Suy ra \(P{{\left( x \right)}_{\max }}=\frac{2500}{3}\) tại \(x=\frac{5000}{3}\).

Vì \(x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=1666\Rightarrow p\left( 1666 \right)=21,7\) triệu đồng.

Trước hết ta lần lượt gọi các biến cố \({{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},{{A}_{4}}\) (biết rằng chúng độc lập với nhau):

\({{A}_{1}}:\) "Sinh viên được chọn là sinh viên giỏi".

\({{A}_{2}}:\) "Sinh viên được chọn là sinh viên khá".

\({{A}_{3}}:\) "Sinh viên được chọn là sinh viên trung bình".

\({{A}_{4}}:\) "Sinh viên được chọn là sinh viên yếu".

Gọi biến cố \(B:\) "Sinh viên được chọn trả lời đúng 3 câu".

Theo giả thiết ta có:

\(P\left( {{A}_{1}} \right)=0,1;P\left( {{A}_{2}} \right)=0,2;P\left( {{A}_{3}} \right)=0,3;P\left( {{A}_{4}} \right)=0,4\).

Và:

\(P\left( H|{{A}_{1}} \right)=1;P\left( H|{{A}_{2}} \right)={{0,75}^{3}};P\left( H|{{A}_{3}} \right)={{0,5}^{3}};P\left( H|{{A}_{4}} \right)={{0,25}^{3}}\).

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta suy ra:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   P\left( H \right) & =P\left( H|{{A}_{1}} \right).P\left( {{A}_{1}} \right)+P\left( H|{{A}_{2}} \right).P\left( {{A}_{2}} \right)  +P\left( H|{{A}_{3}} \right).P\left( {{A}_{3}} \right)+P\left( H|{{A}_{4}} \right).P\left( {{A}_{4}} \right)  \\\end{array}\)

\(\Rightarrow P\left( H \right)=1.0,1+{{0,75}^{3}}.0,2+{{0,5}^{3}}.0,3+{{0,25}^{3}}.0,4=0,228125\).

Khi ấy xác suất cần tìm chính bằng:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   P\left( {{A}_{2}}+{{A}_{3}}|H \right) & =\frac{P\left( \left( {{A}_{2}}+{{A}_{3}} \right)H \right)}{P\left( H \right)}=\frac{P\left( H{{A}_{2}} \right)+P\left( H{{A}_{3}} \right)}{P\left( H \right)}  \\   {} & =\frac{P\left( H|{{A}_{2}} \right).P\left( {{A}_{2}} \right)+P\left( H|{{A}_{3}} \right).P\left( {{A}_{3}} \right)}{P\left( H \right)}  \\   {} & =\frac{{{0,75}^{3}}.0,2+{{0,5}^{3}}.0,3}{0,228125}=\frac{39}{73}.  \\\end{array}\)

Vậy \(\left\{ \begin{align}  & m=39 \\  & n=73 \\ \end{align} \right.\to m.n=2847\).

Tính bậc của từng đỉnh A, B, C, D, E ta được đúng 2 điểm C, E có bậc lẻ (3)

Mà người đưa thư bắt đầu ở C nên tồn tại đường đi Euler và luôn kết thúc ở E.

Để tối ưu thì đầu tiên người đưa thư sẽ đi theo đường đi Euler và kết thúc ở E.

⇒ Số km lúc này sẽ là \(1+2+3+5+6+7+10=34\).

Để quay lại C và tối ưu nhất thì đi thẳng về C (E → C).

Số km lúc này sẽ là \(34+10=44~\) (tối ưu nhất).

Ta có \(A,D\in d\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & A\left( 2-2t;3t;4 \right) \\  & D\left( 2-2v;3v;4 \right) \\ \end{align} \right.\).

Vì \(A\in \left( Oxz \right)\Rightarrow 3t=0\Rightarrow t=0\Rightarrow A\left( 2;0;4 \right)\).

Vì \(D\in \left( Oyz \right)\Rightarrow 2-2v=0\Rightarrow v=1\Rightarrow D\left( 0;3;4 \right)\).

Mà do \(\sin \left( \widehat{MB;\left( Oxy \right)} \right)=\frac{4}{AB}\Rightarrow AB=\frac{4}{\frac{2}{3}}=6\).

Gọi \(B(a,b,0)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( a-2;b;-4 \right);\overrightarrow{AD}=\left( -2;3;0 \right)\).

Mà \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0\Rightarrow -2\left( a-2 \right)+3b=0\Rightarrow b=\frac{2\left( a-2 \right)}{3}\)

Ta lại có:

\(AB=6\Rightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2\left( a-2 \right)}{3} \right)}^{2}}+16=36\).

\(\Rightarrow a=2+6\sqrt{\frac{5}{13}}\approx 5,72\)\(\Rightarrow b=2,48\).

Mặc khác,

\(\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{AD}} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}_{\mathrm{C}}-5,72=-2 \\ \mathrm{y}_{\mathrm{C}}-2,48=3 \\ \mathrm{z}_{\mathrm{C}}=0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}_{\mathrm{C}}=3,72 \\ \mathrm{y}_{\mathrm{C}}=5,48=3 \\ \mathrm{z}_{\mathrm{C}}=0\end{array} \Rightarrow \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=9,2\right.\right.\)

Ta có \(y'=-3{{x}^{2}}+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-1\notin \left( 0;3 \right) \\  & x=1\in \left( 0;3 \right) \\ \end{align} \right.\)

Ta có: \(y(0)=0,\,y(1)=2,\,y(3)=-18\).

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x=3\).