Câu hỏi:

a) Đúng. Số viên bi màu đỏ có đánh số là \(60\text{ }\!\!%\!\!\text{ }. 50=30\).

Suy ra a đúng.

b) Sai. Xác suất để lấy được viên bi màu đỏ là \(P\left( B \right)=\frac{50}{80}=\frac{5}{8}\).

Suy ra b Sai.

c) Đúng. Biến cố "Viên bi được lấy ra có màu đỏ và đánh số" là biến cố \(A\) với điều kiện \(B\).

Vậy xác suất để lấy ra được viên bi màu đỏ có đánh số là \(P\left( A\mid B \right)\).

Suy ra c đúng.

d) Sai. Xác suất để lấy ra viên bi được lấy ra có đánh số là \(P\left( A \right)\). Ta tính \(P\left( A \right)\) theo công thức:

\(P\left( A \right)=P\left( B \right). P\left( A\mid B \right)+P\left( \overline{B} \right). P\left( A\mid \overline{B} \right)\).

Ta có: \(P\left( B \right)=\frac{5}{8};P\left( A\mid B \right)=60\text{ }\!\!%\!\!\text{ }\);

\(\overline{B}\) là biến cố lấy được viên bi vàng nên \(P\left( \overline{B} \right)=\frac{30}{80}=\frac{3}{8}\).

\(A\mid \overline{B}\) là biến cố lấy được viên bi màu vàng có đánh số.

Nên \(P\left( A\mid \overline{B} \right)=100\text{ }\!\!%\!\!\text{ }-50\text{ }\!\!%\!\!\text{ }=50\text{ }\!\!%\!\!\text{ }\).

Vậy

\(P\left( A \right)=P\left( B \right). P\left( A\mid B \right)+P\left( \overline{B} \right). P\left( A\mid \overline{B} \right)=\frac{5}{8}. 60\text{ }\!\!%\!\!\text{ }+\frac{3}{8}. 50\text{ }\!\!%\!\!\text{ }=\frac{9}{16}\).

Vậy d sai.

a) Phương trình mặt cầu tâm \(O\left( 0;0;0 \right)\), bán kính \(R=417\) là \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{417}^{2}}\left( \text{*} \right)\).

Suy ra mệnh đề sai.

b) Thay tọa độ \(A\left( 688;185;-8 \right)\) vào VP của \(\left( {{~}^{\text{*}}} \right)\) ta được:

\({{688}^{2}}+{{185}^{2}}+{{(-8)}^{2}}=507633>{{417}^{2}}\)

Suy ra điểm \(A\left( 688;185;-8 \right)\) nằm ngoài mặt cầu. Suy ra mệnh đề sai.

c) Quỹ đạo của tên lửa là đường thẳng có phương trình \(d\): \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=688-91t  \\    y=185-75t  \\    z=-8  \\ \end{array} \right.\).

Giả sử điểm \(B\left( 688-91t;185-75t;-8 \right)\) là điểm đầu tiên trên màn hình radar phát hiện ra quả tên lửa khi đó điểm \(B\) nằm trên mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{417}^{2}}\).

\(\begin{array}{*{35}{l}}   {} & {{(688-91t)}^{2}}+{{(185-75t)}^{2}}+{{(-8)}^{2}} & ={{417}^{2}}  \\    \Leftrightarrow  & 13906{{t}^{2}}-152966t+333744 & =0  \\ \end{array}\)

Với \(t=8\) suy ra \(B\left( -40;-415;-8 \right)\), khi đó \(\overrightarrow{AB}=\left( -728;-600;0 \right)\) suy ra \(\left| \overrightarrow{AB} \right|\approx 943,39\).

Với \(t=3\) suy ra \(B\left( 415;-40;-8 \right)\), khi đó \(\overrightarrow{AB}=\left( -273;-225;0 \right)\) suy ra \(\left| \overrightarrow{AB} \right|\approx 353,77\).

Rõ ràng \(353,77<943,39\) do đó vị cuối cùng quả tên lửa xuất hiện trên Radar là \(B\left( -40;-415;-8 \right)\) suy ra mệnh đề sai.

d) Gọi \(H\left( 688-91t;185-75t;-8 \right)\) là vị trị hệ thống "Vòm sắt" gần quả tên lửa. Khi đó để \(OH\) nhỏ nhất khi và chỉ khi.

\(\overrightarrow{OH}\bot \vec{u}=\left( -91;-75;0 \right)\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{OH}\cdot \vec{u}=0\)

\(\Leftrightarrow \left( 688-91t \right)\cdot \left( -91 \right)+\left( 185-75t \right)\cdot \left( -75 \right)=0\)

\(\Leftrightarrow 13906t-76483=0\)\(\Leftrightarrow t=\frac{11}{2}\)

Suy ra

\(H\left( \frac{375}{2};-\frac{455}{2};-8 \right)\), \(\left| \overrightarrow{OH} \right|=\sqrt{{{\left( \frac{375}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{-455}{2} \right)}^{2}}+{{(-8)}^{2}}}\approx 295\).

Suy ra mệnh đề sai.

Gọi I là điểm đối xứng của A qua D .

Suy ra BCID là hình bình hành nên \(\mathrm{BD} / / \mathrm{CI}\).

Do đó \(\mathrm{d}\left[\mathrm{BD}, \mathrm{CD}^{\prime}\right]=\mathrm{d}\left[\mathrm{BD},\left(\mathrm{CD}^{\prime} \mathrm{I}\right)\right]=\mathrm{d}\left[\mathrm{D},\left(\mathrm{CD}^{\prime} \mathrm{I}\right)\right]\).

Kẻ \(D E \perp C I\) tại \(E\), kẻ \(D K \perp D^{\prime} E\). Khi đó d \(\left[D,\left(C D^{\prime} I\right)\right]=D K\).

Xét tam giác IAC , ta có \(\mathrm{DE} / / \mathrm{AC}\) và có D là trung điểm của AI.

Suy ra DE là đường trung bình của tam giác.

Suy ra \(\mathrm{DE}=\frac{1}{2} \mathrm{AC}=1\).

Tam giác vuông \(\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{DE}\), có \(\mathrm{DK}=\frac{\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{D} \cdot \mathrm{DE}}{\sqrt{\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{D}^{2}+\mathrm{DE}^{2}}}=\frac{2 \sqrt{5}}{5} \approx 0,89\).

Biểu thị mỗi vùng đất bằng một đỉnh, mỗi cây cầu bằng một cạnh nối hai đỉnh, ta được đồ thị như hình vẽ.

Ta thấy \(d\left( A \right)=5;d\left( B \right)=d\left( C \right)=d\left( D \right)=3\).

Suy ra tất cả các đỉnh của đồ thị trên đều có bậc lẻ.

Do đó đồ thị không có chu trình Euler.

Nói cách khác, không thể bắt đầu từ một điểm nào đó trong thành phố, đi qua khắp các cây cầu, mỗi cầu chỉ đi qua một lần, rồi quay về điểm xuất phát.

Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với góc tường, các tia \(\text{Ox},\text{Oy},\text{Oz}\) hướng theo các đường giao giữa các bức tường và nền nhà.

Gọi tâm mặt cầu là \(I\left( a;b;c \right)\), khi đó \(a,b,c\) là các số dương.

Do quả bóng tiếp xúc với các bức tường và nền nhà nên \(a=b=c=R\).

Phương trình mặt cầu là \({{(x-R)}^{2}}+{{(y-R)}^{2}}+{{(z-R)}^{2}}={{R}^{2}}\).

Trên quả bóng có điểm \(M\) mà khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà lần lượt là 17 cm , \(18\text{cm},21\text{cm}\) nên \(M\left( 17;18;21 \right)\) thuộc mặt cầu.

Do đó ta có:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   {} & {{(17-R)}^{2}}+{{(18-R)}^{2}}+{{(21-R)}^{2}} & ={{R}^{2}}  \\    \Leftrightarrow  & 2{{R}^{2}}-112R+1054 & =0  \\    \Leftrightarrow  & \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   R=28-\sqrt{257}  \\    R=28+\sqrt{257}  \\ \end{array} \right. & {}  \\ \end{array}\)

Do quả bóng tiêu chuẩn có đường kính nằm \(\left( 23\text{cm};24.5\text{cm} \right)\) nên \(R=28-\sqrt{257}\approx 12\text{cm}\).