Câu hỏi:

Ta có $\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AB} + 2(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{0} \Rightarrow 3\overrightarrow{IA} = -\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC} \Rightarrow \overrightarrow{AI} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.
Do đó: $\begin{aligned}AI^2 &= \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)^2\\&= \frac{1}{9}AB^2 + \frac{4}{9}AC^2 + \frac{4}{9}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\\&= \frac{1}{9}a^2 + \frac{4}{9}(3a^2) + \frac{4}{9}a.a\sqrt{3}.\cos{30^\circ}\\&= \frac{1}{9}a^2 + \frac{12}{9}a^2 + \frac{4}{9}a^2\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}\\&= \frac{1}{9}a^2 + \frac{12}{9}a^2 + \frac{6}{9}a^2 = \frac{19}{9}a^2\end{aligned}$
$\Rightarrow AI = a\sqrt{\frac{19}{9}} = \frac{a\sqrt{19}}{3}$
Nhưng đáp án này không khớp với các lựa chọn đã cho. Xem xét lại đề bài.
$\overrightarrow{AI} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$
$AI^2 = \frac{1}{9}AB^2 + \frac{4}{9}AC^2 + \frac{4}{9}AB.AC.\cos{A}$
$= \frac{1}{9}a^2 + \frac{4}{9}.3a^2 + \frac{4}{9}.a.a\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}$
$= \frac{a^2}{9} + \frac{12a^2}{9} + \frac{6a^2}{9} = \frac{19a^2}{9}$
$AI = \frac{\sqrt{19}a}{3}$
Tuy nhiên, vẫn không có đáp án đúng. Có lẽ đề bài hoặc các đáp án có vấn đề. Giả sử đề là $\overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$
$\overrightarrow{AI} = 2\overrightarrow{AC}$
lúc này thì không đúng nữa.
Nếu $\overrightarrow{BI} + 2\overrightarrow{CI} = \overrightarrow{0}$
$AI^2 = (\frac{2}{3}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB})^2$
$= \frac{4}{9}AC^2 + \frac{1}{9}AB^2 - \frac{4}{9}\overrightarrow{AC}\overrightarrow{AB}$
$= \frac{4}{9}(3a^2) + \frac{1}{9}a^2 - \frac{4}{9}a^2\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}$
$= \frac{12a^2}{9} + \frac{a^2}{9} - \frac{6a^2}{9} = \frac{7a^2}{9}$
$AI = \frac{a\sqrt{7}}{3}$