Cho hình phẳng được tô màu trong hình bên dưới.

a) Do \(A\left( 0;0;0 \right)\),\(B\left( 2;0;0 \right)\) và \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(M\left( 1;0;0 \right)\).

Suy ra a) Đúng.

b) Do \(A\left( 0;0;0 \right)\),\(A'\left( 0;0;2 \right)\) và \(N\) là trung điểm của \(AA'\) nên \(N\left( 0;0;1 \right)\).

Suy ra b) Sai.

c) Do \(M\left( 1;0;0 \right)\),\(N\left( 0;0;1 \right)\), \(D\left( 0;2;0 \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( DMN \right)\) là:

\(\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{1}=1\) (phương trình đoạn chắn).

Suy ra c) Đúng.

d) Ta có: Phương trình mặt phẳng \(\left( DMN \right)\) là:

\(\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{1}=1\)\(\Leftrightarrow 2x+y+2z-2=0\).

Mà điểm \(C'\left( 2;2;2 \right)\) từ đó ta có:

\(d\left( C';\left( DMN \right) \right)=\frac{\left| 2.2+2+2.2-2 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{8}{3}\).

Suy ra d) Đúng.

Xét các biến cố:

A: “Lần thứ nhất lấy được quả bóng bàn loại II”;

B: “Lần thứ hai lấy được quả bóng bàn loại II”.

a) Xác suất để lần thứ nhất lấy được quả bóng bàn loại II  là:

\(P\left( A \right)=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}\).

Suy ra a) Sai.

b) Sau khi lấy 1 quả bóng bàn loại II thì chỉ còn 1 quả bóng bàn loại II trong hộp. Suy ra xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng bàn loại II, biết lần thứ nhất lấy được quả bóng bàn loại II, là \(P\left( B/A \right)=\frac{1}{19}\).

Suy ra b) Đúng.

c) Khi đó xác suất để cả hai lần đều lấy được quả bóng bàn loại II là:

\(P\left( C \right)=P\left( A\cap B \right)=P\left( A \right).P\left( B|A \right)=\frac{1}{10}.\frac{1}{19}=\frac{1}{190}\).

Suy ra c) Sai.

d) Vậy để ít nhất \(1\) lần lấy được quả bóng bàn loại I là:

\(P\left( \overline{C} \right)=1-P\left( C \right)=1-\frac{1}{190}=\frac{189}{190}\).

Suy ra d) Đúng.

Số học sinh không bị nhiễm virus ngày thứ \(t\) là: \(1000-P\left( t \right)\), \(t\ge 0\).

Tốc độ lây lan virus là: \({P}'\left( t \right)=k\left( 1000-P\left( t \right) \right)\) với \(k\ne 0\).

\(\begin{array}{*{35}{l}}   \Leftrightarrow  & {P}'\left( t \right)+kP\left( t \right) & =1000k  \\   \Leftrightarrow  & {{e}^{kt}}{P}'\left( t \right)+k{{e}^{kt}}P\left( t \right) & =1000k{{e}^{kt}}  \\   \Leftrightarrow  & {{\left( {{e}^{kt}}.P\left( t \right) \right)}^{\prime }} & =1000k.{{e}^{kt}}  \\\end{array}\)

Suy ra : \({{e}^{kt}}.P\left( t \right)=\int{1000k{{e}^{kt}}dt}=1000.{{e}^{kt}}+C\).

Mà ta thấy ngay từ đầu đã có 1 học sinh mang virus cúm nên khi \(t=0\) thì \(P\left( 0 \right)=1\) nên:

\({{e}^{0}}.P\left( 0 \right)=1000.{{e}^{0}}+C\Leftrightarrow C=-999\).

Khi đó \({{e}^{kt}}.P\left( t \right)=1000.{{e}^{kt}}-999\)\(\Leftrightarrow P\left( t \right)=1000-999.{{e}^{-kt}}\).

Số học sinh bị nhiễm virus cúm sau 4 ngày là 52 học sinh nên khi \(t=4\) thì \(P\left( 4 \right)=52\).

Suy ra : \({{e}^{4k}}.P\left( 4 \right)=1000.{{e}^{4k}}-999\Leftrightarrow 52.{{e}^{4k}}=1000.{{e}^{4k}}-999\).

\(\Leftrightarrow {{e}^{4k}}=\frac{999}{948}\Leftrightarrow k=\frac{1}{4}\ln \left( \frac{999}{948} \right)\) .

Số học sinh bị nhiễm virus cúm sau 10 ngày là:

\(P\left( 10 \right)=1000-999\times {{e}^{-10\times \frac{1}{4}\ln \left( \frac{999}{948} \right)}}\) \(\approx 124\) học sinh.

Thời điểm máy bay đạt vận tốc \(200\,\left( m/s \right)\) là:

\(v\left( t \right)=200\Leftrightarrow {{t}^{2}}+10t=200\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=10 \\  & t=-20 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow t=10\).

Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là:

\(s=\int\limits_{0}^{10}{\left( {{t}^{2}}+10t \right)\,\text{d}t}=\left( \frac{{{t}^{3}}}{3}+5t \right)\left| _{\begin{smallmatrix}   \\  0 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix}  10 \\   \end{smallmatrix}} \right.=\frac{2500}{3}\,\left( m \right)\approx 833(m)\).

Phân tích ta đặt các kích thước của hàng rào như hình vẽ

Từ đề bài ban đầu ta có được mối quan hệ sau:

Do bác nông dân trả 15000000 đồng để chi trả cho nguyên vật liệu và đã biết giá thành từng mặt nên ta có mối quan hệ:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   {} & 3x.50\text{ }000+2y.60\text{ }000 & =15\text{ }000\text{ }000  \\   \Leftrightarrow  & 15x+12y & =1500  \\   \Leftrightarrow  & y & =\frac{1500-15x}{12}=\frac{500-5x}{4}.  \\\end{array}\)

Diện tích của khu vườn sau khi đã rào được tính bằng công thức:

\(f(x)=2xy=2x.\frac{500-5x}{4}=\frac{1}{2}\left( -5{{x}^{2}}+500x \right)\).

Xét hàm số trên một khoảng, vẽ bảng biến thiên và kết luận GTLN:

Xét hàm số \(f(x)=\frac{1}{2}\left( -5{{x}^{2}}+500x \right)\) trên (0;100).

\(f'\left( x \right)=\frac{1}{2}\left( -10x+500 \right),f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=50\).

Bảng biến thiên