Câu hỏi:

Diện tích hình vuông $(C_1)$ là $S_1 = a^2$.

Cạnh của hình vuông $(C_2)$ là $\frac{3}{4}a$, do đó $S_2 = (\frac{3}{4}a)^2 = \frac{9}{16}a^2$.

Tương tự, $S_3 = (\frac{3}{4})^4 a^2$,...

Vậy $T = S_1 + S_2 + S_3 + ... = a^2 + \frac{9}{16}a^2 + (\frac{9}{16})^2 a^2 + ... = a^2 (1 + \frac{9}{16} + (\frac{9}{16})^2 + ...)$.

Tổng trong ngoặc là một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1 = 1$ và $q = \frac{9}{16}$. Do đó, tổng của cấp số nhân là $\frac{1}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{1}{\frac{7}{16}} = \frac{16}{7}$.

Vậy $T = a^2 \cdot \frac{16}{7} = \frac{32}{3}$. Suy ra $a^2 = \frac{32}{3} \cdot \frac{7}{16} = \frac{14}{3}$.

Vậy $a = \sqrt{\frac{14}{3}} = \sqrt{\frac{42}{9}} = \frac{\sqrt{42}}{3} = \frac{\sqrt{6 \cdot 7}}{3}$ => đáp án sai, xem lại đề, chỗ chia cạnh thành 4 phần nối điểm chia thích hợp thì cạnh hình vuông mới phải là $\frac{5}{4}$, nếu đề cho cạnh hình vuông nhỏ là $\frac{3}{4}$ thì cạnh ngoài chia thành 5 phần cơ, hình như đề sai rồi

Nếu mà cạnh hình vuông $(C_2)$ là $\frac{\sqrt{2}}{4}a*4/sqrt(2)=\sqrt{2}a$, thì tính kiểu gì nhỉ?

Trên đường tròn lượng giác, với điểm $M(x_0; y_0)$ biểu diễn cho góc $\alpha$, ta có:
\begin{itemize}

$\cos \alpha = x_0$

$\sin \alpha = y_0$

\end{itemize}
Vậy đáp án đúng là $\sin \alpha = y_0$.

Ta xét từng đáp án:

• Đáp án A: $\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha $ (Đúng, theo công thức góc phụ nhau)
• Đáp án B: $\sin\left( {\pi + \alpha } \right) = -\sin\alpha $ (Sai)
• Đáp án C: $\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = -\sin \alpha $ (Sai)
• Đáp án D: $\tan\left( {\pi + 2\alpha } \right) = \tan(2\alpha)$ (Sai)

Vậy đáp án đúng là A.

Ta có:
$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$ (đúng)
$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$ (đúng)
$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$ (đúng)
$\sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha = 4\sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha \ne 4\sin \alpha \cos \alpha$. Vậy C sai.

Ta có $\sin x = \frac{2}{3}$.

Vì $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, suy ra $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.

Do đó, $\cos x = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Khi đó, $\sin 2x = 2 \sin x \cos x = 2.\frac{2}{3}.\left( \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \right) = \pm \frac{4\sqrt{5}}{9}$.

Suy ra $P = \sin 2x \cos x = \left( \pm \frac{4\sqrt{5}}{9} \right).\left( \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \right) = \frac{4\cdot 5}{27} = \frac{20}{27}$.