Câu hỏi:
Cho hình hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\]. Biết khoảng cách từ đỉnh \[A\] tới mặt phẳng\[\left( {A'BD} \right)\] bằng \[10\]. Tính thể tích nhỏ nhất của khối hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\] (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Trả lời:
Đáp án đúng:
Gọi $a, b, c$ lần lượt là độ dài các cạnh $AB, AD, AA'$ của hình hộp chữ nhật.
Khoảng cách từ $A$ đến $(A'BD)$ là $h = 10$.
Ta có công thức:
$\frac{1}{h^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$
$\frac{1}{10^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$
Thể tích của hình hộp là $V = abc$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương $\frac{1}{a^2}, \frac{1}{b^2}, \frac{1}{c^2}$ ta có:
$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \ge 3 \sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2}}$
$\frac{1}{100} \ge 3 \sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2}}$
$\frac{1}{100^3} \ge 27 \frac{1}{a^2b^2c^2}$
$a^2b^2c^2 \ge 27.100^3$
$V = abc \ge \sqrt{27.100^3} = \sqrt{27}.100.\sqrt{100} = 3\sqrt{3}.1000 = 3000\sqrt{3} \approx 5196.15$
Khi $a=b=c$ thì $V$ đạt giá trị nhỏ nhất. Từ $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{100}$ và $a=b=c$ suy ra $\frac{3}{a^2} = \frac{1}{100} \Rightarrow a^2 = 300 \Rightarrow a = 10\sqrt{3}$
Vậy $V_{min} = a^3 = (10\sqrt{3})^3 = 1000.3\sqrt{3} = 3000\sqrt{3} \approx 5196.15$
Nhưng đề bài cho khoảng cách từ A đến (A'BD) bằng 10. Gọi a, b, c là 3 kích thước. Ta có: $V = abc$ và $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{100}$.
Áp dụng BĐT Cauchy: $\frac{1}{100} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \ge 3 \sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2}}$
$\Rightarrow \frac{1}{100^3} \ge \frac{27}{a^2b^2c^2} \Rightarrow (abc)^2 \ge 27.100^3 \Rightarrow abc \ge \sqrt{27.10^6} = 3000\sqrt{3} \approx 5196.15$
Vậy $V_{min} \approx 5196.15$ . Đề bài yêu cầu làm tròn đến hàng đơn vị. Đáp án sai.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
