Câu hỏi:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$
Vì tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O) nên O là trọng tâm tam giác ABC.
Do đó, G trùng với O.
Suy ra: $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}| = |3\overrightarrow{MO}| = 3MO = 3.1 = 3$.

Ta có độ chính xác $d = 0,0004$.
Số gần đúng $a$ của $\overline{a}$ phải thỏa mãn $|a - \overline{a}| \le d$.
Ta xét các đáp án:

• A. $|12,096 - 12,096384| = 0,000384 < 0,0004$
• B. $|12,09638 - 12,096384| = 0,000004 < 0,0004$
• C. $|12,0964 - 12,096384| = 0,000016 < 0,0004$
• D. $|12,10 - 12,096384| = 0,003616 > 0,0004$

Vì $d = 0,0004$, ta cần làm tròn số đến chữ số thập phân thứ 4. Vì chữ số thứ 5 là 8 > 5 nên ta làm tròn lên. Vậy số gần đúng là 12,0964.

Ta có:

• $\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD}$
• $\vec{AN} = \vec{AD} + \vec{DN} = \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{DC} = \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AB}$

Suy ra:

• $\vec{a} = \vec{AM} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD}$
• $\vec{c} = \vec{AN} = \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AB}$

Ta cần tìm $x, y$ sao cho $\vec{AC} = x\vec{a} + y\vec{c}$.
Mà $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.
$x(\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD}) + y(\vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AB}) = \vec{AB} + \vec{AD}$
$\Leftrightarrow (x + \frac{1}{2}y)\vec{AB} + (\frac{1}{2}x + y)\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{AD}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x + \frac{1}{2}y = 1 \\ \frac{1}{2}x + y = 1 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{2}{3} \\ y = \frac{2}{3} \end{cases}$
Vậy $\vec{AC} = \frac{2}{3} \vec{AM} + \frac{2}{3} \vec{AN}$

Độ chính xác $d = 0,01$ nên ta quy tròn đến hàng phần mười.
Ta có $a = 1,2357$. Vì $0,01$ là độ chính xác, ta cần quy tròn đến hàng phần mười.
Số $1,2357$ quy tròn đến hàng phần mười là $1,2$.
Vậy đáp án là $1,2$.

Ta có ABCD là hình thoi cạnh 4 và $\widehat{ABC} = 120^\circ$. Suy ra $\widehat{BAD} = 60^\circ$.
Do đó, tam giác ABD là tam giác đều cạnh 4.
$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}).\overrightarrow{AD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}).\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AD}$
$= |\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AD}|.cos(\widehat{BAD}) + |\overrightarrow{AD}|^2 = 4.4.cos(60^\circ) + 4^2 = 16.\frac{1}{2} + 16 = 8 + 16 = 24$.
Tuy nhiên, có vẻ như có một lỗi trong đề bài hoặc trong các đáp án. Nếu $\widehat{ABC} = 120^\circ$, thì $\widehat{BAD} = 60^\circ$. Khi đó, tích vô hướng $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD}$ sẽ là 24. Đáp án đúng nhất gần với 24 là 32 nếu tính theo cách khác như sau:
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$
$\overrightarrow{AC} . \overrightarrow{AD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}).\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD}^2 = |\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AD}|.cos(60) + |\overrightarrow{AD}|^2 = 4*4*\frac{1}{2} + 4^2 = 8 + 16 = 24$
Vì không có đáp án nào bằng 24, ta xem xét lại đề bài và các đáp án. Nếu góc $\widehat{ABC}$ bằng $120^\circ$, thì góc $\widehat{BAC}$ phải bằng $30^\circ$ suy ra góc giữa AC và AD không phải là $60^\circ$.
Nếu $\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AD} = |AB||AD| cos(\alpha) = 16 cos(\alpha)$ và $\overrightarrow{AD}^2 = 16$ thì $\overrightarrow{AC} . \overrightarrow{AD} = 16 cos(\alpha) + 16$
Nếu đáp án là 32, thì $16 cos(\alpha) + 16 = 32 => 16 cos(\alpha) = 16 => cos(\alpha) = 1$, khi đó $\alpha = 0$. Điều này không hợp lý.
Kiểm tra lại đề. Có lẽ đề yêu cầu tính $AC^2$. Vì $\angle ABC = 120^\circ => \angle BAD = 60^\circ$, tam giác ABD đều cạnh 4. Vậy $AC^2 = AB^2 + BC^2 + 2 AB.BC.cos(\angle ABC) = 4^2 + 4^2 + 2.4.4.cos(120^\circ) = 16 + 16 + 32(-\frac{1}{2}) = 32 - 16 = 16$. Nếu đề hỏi $AC^2$ thì đáp án là 16, có lẽ đây là lỗi đánh máy.