Bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức trên miền nghiệm

Câu 9:

Cho hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x - y > 1\\\frac{1}{3}x\,\, - \,y\, \le 2\end{array} \right.\] có tập nghiệm là S. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta xét từng đáp án:

A. Với (0; 1) ta có: $0 - 1 = -1 \ngtr 1$ nên (0; 1) không thuộc S.
B. Với (0; -1) ta có: $0 - (-1) = 1 \ngtr 1$ nên (0; -1) không thuộc S.
C. Với $(\frac{1}{3}; 1)$ ta có: $\frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3} \ngtr 1$ nên $(\frac{1}{3}; 1)$ không thuộc S.
D. Với $(-\frac{1}{3}; 1)$ ta có: $-\frac{1}{3} - 1 = -\frac{4}{3} < 1$ và $\frac{1}{3}(-\frac{1}{3}) - 1 = -\frac{1}{9} - 1 = -\frac{10}{9} < 2$. Vậy $(-\frac{1}{3}; 1)$ không thuộc S.

Vậy đáp án đúng là D.

Câu 10:

Miền nghiệm của bất phương trình: –3x + y > 0 chứa điểm nào trong các điểm sau:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta cần kiểm tra điểm nào thỏa mãn bất phương trình $–3x + y > 0$.

A. (–3; 0): $–3(–3) + 0 = 9 > 0$. Thỏa mãn.
B. (3; 2): $–3(3) + 2 = –9 + 2 = –7 \ngtr 0$. Không thỏa mãn.
C. (0; 0): $–3(0) + 0 = 0 \ngtr 0$. Không thỏa mãn.
D. (1; 1): $–3(1) + 1 = –3 + 1 = –2 \ngtr 0$. Không thỏa mãn.

Vậy, điểm (–3; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Câu 11:

Một công ty dự định sản xuất hai loại sản phẩm I và II. Các sản phẩm này được chế tạo từ hai loại nguyên liệu A, B. Số kilôgam dự trữ từng loại nguyên liệu và số kilôgam từng loại cần dùng để sản xuất 1 kg sản phẩm được cho trong bảng sau :

Loại nguyên liệu	Số kilôgam nguyên liệu dự trữ	Số kilôgam nguyên liệu cần dùng sản xuất 1 kg sản phẩm
Loại nguyên liệu	Số kilôgam nguyên liệu dự trữ	I	II
A	8	2	1
B	12	2	2

Công ty đó nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để tiền lãi thu về lớn nhất ? Biết rằng, mỗi kilogam sản phẩm loại I lãi 10 triệu đồng, mỗi sản phẩm loại II lãi 20 triệu đồng.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi $x$ là số kg sản phẩm loại I và $y$ là số kg sản phẩm loại II. Ta có hệ bất phương trình:

$2x + y \le 8$
$2x + 2y \le 12$
$x \ge 0$
$y \ge 0$

Lợi nhuận là $L = 10x + 20y$ (triệu đồng). Xét các điểm:

A(0,0) => L = 0
B(4,0) => L = 40
C(0,6) => L = 120

Tìm giao điểm của $2x + y = 8$ và $2x + 2y = 12$: $2y - y = 12 - 8 => y = 4$ $2x + 4 = 8 => x = 2$

D(2,4) => L = 10*2 + 20*4 = 20 + 80 = 100

Vậy lợi nhuận lớn nhất khi $x=0$ và $y=6$. Do đó, công ty nên sản xuất 0 kg loại I và 6 kg loại II.

Câu 12:

Miền nghiệm của bất phương trình 4x + 3y ≤ 1 là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để xác định miền nghiệm của bất phương trình $4x + 3y \leq 1$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Vẽ đường thẳng $4x + 3y = 1$.
Bước 2: Chọn một điểm không nằm trên đường thẳng, ví dụ điểm $O(0;0)$.
Bước 3: Thay tọa độ điểm $O(0;0)$ vào bất phương trình: $4(0) + 3(0) = 0 \leq 1$. Bất phương trình này đúng.
Bước 4: Kết luận: Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $4x + 3y = 1$ chứa điểm $O(0;0)$ (kể cả bờ d).

Câu 13:

Điểm nào trong các điểm sau thuộc miền nghiệm của bất phương trình: 2(x + 3) – 4(y –1) < 0.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta xét từng đáp án:

Đáp án A: Thay $x = 0$ và $y = 0$ vào bất phương trình, ta được $2(0 + 3) - 4(0 - 1) = 6 + 4 = 10 > 0$. Loại.
Đáp án B: Thay $x = 1$ và $y = 0$ vào bất phương trình, ta được $2(1 + 3) - 4(0 - 1) = 8 + 4 = 12 > 0$. Loại.
Đáp án C: Thay $x = 0$ và $y = 1$ vào bất phương trình, ta được $2(0 + 3) - 4(1 - 1) = 6 - 0 = 6 > 0$. Loại.
Đáp án D: Thay $x = -5$ và $y = 1$ vào bất phương trình, ta được $2(-5 + 3) - 4(1 - 1) = 2(-2) - 0 = -4 < 0$. Thỏa mãn.

Vậy đáp án đúng là D.

Câu 14:

Cặp số nào sau đây không là nghiệm của bất phương trình: x – 4y ≥ –5.

Lời giải: