Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức tuyến tính

Câu 16:

Để biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn 2x + y – 4 > 0, bạn An đã làm theo 3 bước:

Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng ∆: 2x + y – 4 = 0.

Bước 2: Lấy một điểm (0; 0) không thuộc ∆. Tính 2. 0 + 0 – 4 = ‒ 4.

Bước 3: Kết luận:

Do ‒4 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ ∆) chứa điểm (0; 0).

Bước 4: Biểu diễn miền nghiệm trên trục tọa độ Oxy:

Cô giáo kiểm tra bài bạn An và nói rằng bài bạn làm sai. Bạn An đã làm sai từ bước nào?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Bạn An sai ở Bước 4. Vì $2x + y - 4 > 0$, ta có $y > -2x + 4$.

Đường thẳng $2x + y - 4 = 0$ hay $y = -2x + 4$ là đúng.
Việc thay điểm (0; 0) vào và tính ra -4 < 0 là đúng.
Tuy nhiên, vì bất phương trình là $2x + y - 4 > 0$, hay $y > -2x + 4$, miền nghiệm phải là nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng $y = -2x + 4$. Do đó, miền nghiệm *không chứa* điểm (0;0).
Vậy An tô miền nghiệm sai. Phải tô miền *không chứa* (0;0).

Câu 17:

Chỉ ra câu sai trong các câu sau:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta xét từng đáp án:

A. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by + c > 0$ (hoặc các dạng tương tự với $\ge, <, \le$). Tập nghiệm của nó là một nửa mặt phẳng, do đó có vô số nghiệm. Vậy A đúng.
B. Thay $x = 2$ và $y = 3$ vào bất phương trình $2x + 3y > 0$, ta được $2(2) + 3(3) = 4 + 9 = 13 > 0$. Vậy (2; 3) là nghiệm của bất phương trình. B đúng.
C. Bất phương trình $2x + 5y < 1$ có thể viết lại là $2x + 5y - 1 < 0$. Hệ số đúng phải là a = 2; b = 5 và c = -1. Vậy C sai.
D. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có nghiệm. Vậy D đúng.

Vậy câu sai là C.

Câu 18:

Miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2 là phần tô đậm trong hình vẽ của hình vẽ nào, trong các hình vẽ sau?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Câu 19:

Một nhà khoa học nghiên cứu về tác động phối hợp của vitamin A và vitamin B đối với cơ thể con người. Kết quả như sau:

- Một người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B.

- Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1 000 đơn vị vitamin cả A và B.

Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin B không ít hơn $\frac{1}{2}$ số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A.

Biết giá một đơn vị vitamin A là 9 đồng và giá một đơn vị vitamin B là 7,5 đồng. Phương án dùng hai loại vitamin A, B thoả mãn các điều kiện trên để có số tiền phải trả là ít nhất là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Gọi $x$ là số đơn vị vitamin A và $y$ là số đơn vị vitamin B. Bài toán yêu cầu tìm $x, y$ sao cho chi phí $9x + 7.5y$ nhỏ nhất, thỏa mãn các điều kiện:

$0 \le x \le 600$
$0 \le y \le 500$
$400 \le x + y \le 1000$
$\frac{1}{2}x \le y \le 3x$

Xét các phương án:

Phương án A: $x = 500, y = 500$. $x + y = 1000$. Điều kiện $\frac{1}{2}x \le y \le 3x$ tương đương $250 \le 500 \le 1500$ (đúng). Chi phí: $9(500) + 7.5(500) = 4500 + 3750 = 8250$
Phương án B: $x = 600, y = 400$. $x + y = 1000$. Điều kiện $\frac{1}{2}x \le y \le 3x$ tương đương $300 \le 400 \le 1800$ (đúng). Chi phí: $9(600) + 7.5(400) = 5400 + 3000 = 8400$
Phương án C: $x = 600, y = 300$. $x + y = 900$. Điều kiện $\frac{1}{2}x \le y \le 3x$ tương đương $300 \le 300 \le 1800$ (đúng). Chi phí: $9(600) + 7.5(300) = 5400 + 2250 = 7650$
Phương án D: $x = 100, y = 300$. $x + y = 400$. Điều kiện $\frac{1}{2}x \le y \le 3x$ tương đương $50 \le 300 \le 300$ (đúng). Chi phí: $9(100) + 7.5(300) = 900 + 2250 = 3150$

Vậy phương án D có chi phí ít nhất.

Câu 20:

Cho các khẳng định sau:

(I) 2x + y - 1 = 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

(II) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

(III) Điểm A(0; 1) thuộc miền nghiệm của bất phương trình x + 2y – 1 > 0.

(IV) Cặp số (x; y) = (3; 4) là nghiệm của bất phương trình x + y > 0.

Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta xét từng khẳng định:

(I) $2x + y - 1 = 0$ là phương trình bậc nhất hai ẩn, không phải bất phương trình. Vậy (I) sai.
(II) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm. Vậy (II) đúng.
(III) Thay $x = 0$ và $y = 1$ vào bất phương trình $x + 2y - 1 > 0$, ta được $0 + 2(1) - 1 = 1 > 0$. Vậy (III) đúng.
(IV) Thay $x = 3$ và $y = 4$ vào bất phương trình $x + y > 0$, ta được $3 + 4 = 7 > 0$. Vậy (IV) đúng.

Vậy có 3 khẳng định đúng.

Câu 21:

Miền nghiệm của bất phương trình 2(x + 1) – 3(y + 2) > 3(2x + 2y) được biểu diễn phân cách bởi đường thẳng nào sau đây?

Lời giải: