Câu hỏi:

Cho hàm số $y=x^4-\dfrac23x^3-x^2.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số chỉ có một giá trị cực tiểu.

B. Hàm số có giá trị cực tiểu là

0

C. Hàm số có giá trị cực tiểu là

-\dfrac23

và giá trị cực đại là

-\dfrac{5}{48}

D. Hàm số có hai giá trị cực tiểu là

-\dfrac23

và

-\dfrac{5}{48}

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Ta có $y' = 4x^3 - 2x^2 - 2x = 2x(2x^2 - x - 1) = 2x(x-1)(2x+1)$.
$y'=0$ khi $x=0, x=1, x=-\dfrac{1}{2}$.
$y'' = 12x^2 - 4x - 2$.
$y''(0) = -2 < 0$ nên $x=0$ là điểm cực đại.
$y''(1) = 12 - 4 - 2 = 6 > 0$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu.
$y''(-\dfrac{1}{2}) = 12(\dfrac{1}{4}) - 4(-\dfrac{1}{2}) - 2 = 3 + 2 - 2 = 3 > 0$ nên $x=-\dfrac{1}{2}$ là điểm cực tiểu.
Vậy hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu. Do đó, hàm số có một giá trị cực tiểu.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Chủ đề Đạo hàm và khảo sát hàm số - Dạng 3: Nhận biết, tìm điểm cực trị, đếm số điểm cực trị của hàm số

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 20

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 10:

Hàm số $y=x^3-3x^2-1$ đạt cực đại tại

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm điểm cực đại của hàm số $y = x^3 - 3x^2 - 1$, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm bậc nhất: $y' = 3x^2 - 6x$

Tìm các điểm tới hạn bằng cách giải phương trình $y' = 0$:
$3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$

Tính đạo hàm bậc hai: $y'' = 6x - 6$

Xét dấu của đạo hàm bậc hai tại các điểm tới hạn:
- Tại $x = 0$: $y''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0$. Vì $y''(0) < 0$, hàm số đạt cực đại tại $x = 0$.
- Tại $x = 2$: $y''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0$. Vì $y''(2) > 0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$.

Vậy, hàm số đạt cực đại tại $x = 0$.

Câu 11:

Hàm số $y=x^3-5x^2+7x-1$ đạt cực đại tại

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm điểm cực đại của hàm số $y=x^3-5x^2+7x-1$, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm bậc nhất: $y' = 3x^2 - 10x + 7$

Giải phương trình $y' = 0$: $3x^2 - 10x + 7 = 0$. Phương trình này có hai nghiệm phân biệt $x_1 = 1$ và $x_2 = \frac{7}{3}$

Tính đạo hàm bậc hai: $y'' = 6x - 10$

Xét dấu của đạo hàm bậc hai tại các nghiệm:
- $y''(1) = 6(1) - 10 = -4 < 0$, vậy $x = 1$ là điểm cực đại.
- $y''(\frac{7}{3}) = 6(\frac{7}{3}) - 10 = 4 > 0$, vậy $x = \frac{7}{3}$ là điểm cực tiểu.

Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=1$.

Câu 12:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=(x-2 \, 024)^{2 \, 024}(x-2 \, 025)^{2 \, 025}, \, \forall x\in \mathbb{R}$ . Số điểm cực đại của hàm số đã cho là

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có $f'(x)=(x-2024)^{2024}(x-2025)^{2025}$.
$f'(x) = 0$ khi $x = 2024$ hoặc $x = 2025$.
Xét dấu của $f'(x)$:

Khi $x < 2024$, $(x-2024)^{2024} > 0$ và $(x-2025)^{2025} < 0$ nên $f'(x) < 0$.

Khi $2024 < x < 2025$, $(x-2024)^{2024} > 0$ và $(x-2025)^{2025} < 0$ nên $f'(x) < 0$.

Khi $x > 2025$, $(x-2024)^{2024} > 0$ và $(x-2025)^{2025} > 0$ nên $f'(x) > 0$.

Vậy $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x = 2025$, suy ra $x = 2025$ là điểm cực tiểu.
$f'(x)$ không đổi dấu tại $x = 2024$ nên $x = 2024$ không là điểm cực trị.
Do đó, hàm số không có điểm cực đại nào.

Câu 13:

Khẳng định nào sau đây đúng về hàm số $y=\sqrt{x^2+1}$ ?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có $y = \sqrt{x^2+1}$.

$y' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

$y'' = \frac{\sqrt{x^2+1} - x.\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} = \frac{x^2+1-x^2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$.

$y''(0) = 1 > 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$. Vậy đáp án đúng là hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$.

Câu 14:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=x(x-1)(x-2)^2(x^2-1)$ , $\forall x\in \mathbb{R}$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có $f'(x) = x(x-1)(x-2)^2(x^2-1) = x(x-1)(x-2)^2(x-1)(x+1) = x(x+1)(x-1)^2(x-2)^2$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = -1, x = 1, x = 2$

Xét dấu của $f'(x)$:

$x = 0$: $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương

$x = -1$: $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm

$x = 1$: $f'(x)$ không đổi dấu

$x = 2$: $f'(x)$ không đổi dấu

Vậy hàm số có 2 điểm cực trị là $x = 0$ và $x = -1$.

Câu 15:

Hàm số nào sau đây có ba điểm cực trị?

Lời giải: