Câu hỏi:

Vì $\alpha + \beta = 180^\circ$ nên $\beta = 180^\circ - \alpha$.

Ta có:

$\cot \beta = \cot (180^\circ - \alpha) = - \cot \alpha \Rightarrow \cot \alpha + \cot \beta = 0$.

$\tan \beta = \tan (180^\circ - \alpha) = - \tan \alpha \Rightarrow \tan \alpha + \tan \beta = 0$.

$\sin \beta = \sin (180^\circ - \alpha) = \sin \alpha \Rightarrow \sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \alpha \neq 0$ (vì $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\sin \alpha > 0$).

$\cos \beta = \cos (180^\circ - \alpha) = - \cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha + \cos \beta = 0$.

Vậy khẳng định sai là $\sin \alpha + \sin \beta =0$.

Từ đồ thị ta thấy đường thẳng $\left(d_1\right)$ có phương trình là $2 x-y=1$; đường thẳng $\left(d_2\right)$ có phương trình $x+y=2$ vò đường thẳng $\left(d_3\right)$ có phương trình là $y=-2$.

Lại thấy điểm có tọa độ $(1 ;-1)$ thuộc miền biểu diễn nghiệm và thay vào $\left\{\begin{array}{l}2 x-y<1 \\ x+y \geq 2 \\ y \geq-2\end{array}\right.$ ta được:

$

\left\{\begin{array}{l}

2.1-(-1)<1 \\

1+(-1) \geq 2 \\

-1 \geq-2

\end{array}\right.

$

ta thấy $1+(-1) \geq 2$ (vô lí), do đó $\left\{\begin{array}{l}2 x-y<1 \\ x+y \geq 2 \\ y \geq-2\end{array}\right.$ không thỏa mãn.

Vậy phần không tô màu trong hình biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2 x-y \geq 1 \\ x+y \leq 2 \\ y \geq-2\end{array}\right.$

+Vẽ đường thẳng \(2x + 3y = 1\) .

Thay \(x = 0,\,y = 0\) vào bất phương trình \(2x + 3y \le 1\) ta thấy thỏa mãn.

Nên gốc tọa độ O thuộc miền nghiệm của bất phương trình. 

+Vẽ đường thẳng \(3x - y = 8\) .

Thay \(x = 0,\,y = 0\) vào bất phương trình \(3x - y \ge 8\) ta thấy không thỏa mãn.

Nên gốc tọa độ O không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. 

+ Phần để trắng thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác, ta có:

\({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab{\rm{cos}}C\)

hay \({c^2} = {3^2} + {4^2} - 2.3.4.{\rm{cos}}{30^ \circ } = 25 - 12\sqrt 3 \) .

Do đó, \(c \approx 2,05\) cm.

Ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc{\rm{cos}}A\)

\( \Rightarrow {\rm{cos}}A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

\( = \frac{{{4^2} + {{(25 - 12\sqrt 3 )}^2} - {3^2}}}{{2.4.\sqrt {25 - 12\sqrt 3 } }} \approx 0,68\) .

Suy ra \(\hat A \approx 47,{2^ \circ }\) .

Do đó, \(\hat B = {180^ \circ } - \hat A - \hat C\)

\( = {180^ \circ } - 47,{2^ \circ } - {30^ \circ } = 102,{8^ \circ }\) .

Vì \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = 1\)

\( \Rightarrow {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  = 1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = 1 - {( - \frac{3}{4})^2} = \frac{7}{{16}}\) .

Mà \({0^ \circ } < \alpha  < {90^ \circ }\) nên \({\rm{sin}}\alpha  > 0\) .

Do đó \({\rm{sin}}\alpha  = \sqrt {\frac{7}{{16}}}  = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\) .

\({\rm{tan}}\alpha  = \frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt 7 }}{4}}}{{ - \frac{3}{4}}} =  - \frac{{\sqrt 7 }}{3}\) ;

\({\rm{cot}}\alpha  = \frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{sin}}\alpha }} =  - \frac{{3\sqrt 7 }}{7}\) .