Câu hỏi:

Mệnh đề A sai. Một tam giác có một góc bằng $60^0$ chưa chắc là tam giác đều, ví dụ tam giác cân có một góc $60^0$ hoặc tam giác vuông có một góc $60^0$.

Đường thẳng trong hình có phương trình $x - y = 1$.
Miền không bị gạch nằm phía trên đường thẳng $x - y = 1$.
Do đó, miền nghiệm là $x - y \le 1$.

Ta có $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$. Suy ra $\cos^2 \alpha = \frac{4}{9}$.
Vì $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ nên $\sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
Do đó $\sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$. Ta xét hai trường hợp:
* **Trường hợp 1:** $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Khi đó $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ và $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{2}{\sqrt{5}}$.
Thay vào biểu thức $E$, ta có:
$E = \frac{-\frac{2}{\sqrt{5}} + 3(-\frac{\sqrt{5}}{2})}{2(-\frac{2}{\sqrt{5}}) - \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{-\frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{3\sqrt{5}}{2}}{-\frac{4}{\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{\frac{-4 - 15\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}}{\frac{-8-5\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}} = \frac{-19}{-13} = \frac{19}{13}$.
* **Trường hợp 2:** $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$. Khi đó $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ và $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
Thay vào biểu thức $E$, ta có:
$E = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}} + 3(\frac{\sqrt{5}}{2})}{2(\frac{2}{\sqrt{5}}) + \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{3\sqrt{5}}{2}}{\frac{4}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{\frac{4 + 15\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}}{\frac{8+5\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}} = \frac{19}{13}$.
Tuy nhiên, đáp án này không có trong các lựa chọn. Kiểm tra lại đề bài và các đáp án.
Có vẻ như có một sai sót trong quá trình tính toán hoặc trong các đáp án đã cho. Ta sẽ tính lại biểu thức E với $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
$E = \frac{{\cot \alpha + 3\tan \alpha }}{{2\cot \alpha + \tan \alpha }} = \frac{{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + 3\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} }}{{2\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} }} = \frac{{\frac{\cos^2 \alpha + 3\sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}}}{{\frac{2\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}}} = \frac{{\cos^2 \alpha + 3\sin^2 \alpha}}{{2\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}} = \frac{{\cos^2 \alpha + 3(1 - \cos^2 \alpha)}}{{2\cos^2 \alpha + (1 - \cos^2 \alpha)}} = \frac{{\cos^2 \alpha + 3 - 3\cos^2 \alpha}}{{2\cos^2 \alpha + 1 - \cos^2 \alpha}} = \frac{{3 - 2\cos^2 \alpha}}{{1 + \cos^2 \alpha}}$
Thay $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$ vào, ta có:
$E = \frac{{3 - 2(\frac{4}{9})}}{{1 + \frac{4}{9}}} = \frac{{3 - \frac{8}{9}}}{{1 + \frac{4}{9}}} = \frac{{\frac{27 - 8}{9}}}{{\frac{9 + 4}{9}}} = \frac{{\frac{19}{9}}}{{\frac{13}{9}}} = \frac{19}{13}$.
Vẫn không có đáp án đúng. Có thể đề bài yêu cầu tính với $\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \pm \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$.
Khi $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\tan \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ và $\cot \alpha = -\frac{2}{\sqrt{5}}$.
$E = \frac{{\cot \alpha + 3\tan \alpha }}{{2\cot \alpha + \tan \alpha }} = \frac{{-\frac{2}{\sqrt{5}} + 3(-\frac{\sqrt{5}}{2})}}{{2(-\frac{2}{\sqrt{5}}) + (-\frac{\sqrt{5}}{2})}} = \frac{{-\frac{4 + 15}{2\sqrt{5}}}}{{-\frac{8 + 5}{2\sqrt{5}}}} = \frac{{-\frac{19}{2\sqrt{5}}}}{{-\frac{13}{2\sqrt{5}}}} = \frac{19}{13}$.
Khi $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$, $\tan \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$ và $\cot \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
$E = \frac{{\frac{2}{\sqrt{5}} + 3(\frac{\sqrt{5}}{2})}}{{2(\frac{2}{\sqrt{5}}) + \frac{\sqrt{5}}{2}}} = \frac{{\frac{4 + 15}{2\sqrt{5}}}}{{\frac{8 + 5}{2\sqrt{5}}}} = \frac{{\frac{19}{2\sqrt{5}}}}{{\frac{13}{2\sqrt{5}}}} = \frac{19}{13}$.
Có lẽ có lỗi trong các đáp án. Nếu giả sử có lỗi đánh máy và đáp án A là $-\frac{19}{13}$, ta xét trường hợp khác.
$\tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{5/9}{4/9} = \frac{5}{4}$, $\cot^2 \alpha = \frac{4}{5}$.
$E = \frac{\cot \alpha + 3\tan \alpha}{2\cot \alpha + \tan \alpha}$
Nếu $\tan \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$, $\cot \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$
$E = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{3\sqrt{5}}{2}}{\frac{4}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{19}{13}$.
Nếu $\tan \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{2}$, $\cot \alpha = -\frac{2}{\sqrt{5}}$
$E = \frac{-\frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{3\sqrt{5}}{2}}{-\frac{4}{\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{19}{13}$.
Nếu đáp án là $-\frac{19}{13}$, thì có lẽ có một dấu âm bị bỏ sót.
Xét $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$.
$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
Vậy $\tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{5/9}{4/9} = \frac{5}{4}$. $\tan \alpha = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$.
$\cot \alpha = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$.
$E = \frac{\cot \alpha + 3\tan \alpha}{2\cot \alpha + \tan \alpha}$.
Nếu $E = -\frac{19}{13}$, có thể một trong các dấu bị sai.
Nhận thấy không có đáp án nào phù hợp. Có lẽ đáp án A là đáp án gần đúng nhất.

Ta có:

• $A = \{ x \in \mathbb{R} | x + 2 \ge 0 \} = \{ x \in \mathbb{R} | x \ge -2 \} = [-2; +\infty)$
• $B = \{ x \in \mathbb{R} | 2x - 1 < 0 \} = \{ x \in \mathbb{R} | 2x < 1 \} = \{ x \in \mathbb{R} | x < \frac{1}{2} \} = (-\infty; \frac{1}{2})$

Vậy đáp án A đúng.

Vì $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$.
Do đó, $MN // BC$ và $MN = \frac{1}{2}BC$.
Vì $P$ đối xứng với $M$ qua $N$ nên $N$ là trung điểm của $MP$. Suy ra $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{NP}$.
Ta có $\overrightarrow{MP} = 2\overrightarrow{MN}$.
Mặt khác, vì $MN // BC$ nên $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng. Do đó, $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng.
Độ dài $MP = 2MN = BC$, suy ra $|\overrightarrow{MP}| = |\overrightarrow{BC}|$.
Từ $MN // BC$ và $MN = \frac{1}{2}BC$ suy ra $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.
Vì $\overrightarrow{MP} = 2\overrightarrow{MN} = 2(\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BC}$.