Câu hỏi:

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC \perp BD$.

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $AG = \frac{2}{3}AO = \frac{2}{3} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a}{3}$.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Ta có $d(BD, SA) = d(BD, (SAC))$.

Trong mặt phẳng $(ABCD)$, dựng $OH \perp AC$ tại $H$. Khi đó $OH \perp (SAC)$ và $d(O, (SAC)) = OH$.

Ta có $\frac{1}{OH^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OC^2}$.

Vì $SG \perp (ABCD)$ nên $SG \perp BD$. Do đó $BD \perp (SGC)$ suy ra $(SGC) \perp (ABCD)$.

$d(BD, SA) = d(O, (SAC)) = OH$.

Ta có $SC = \sqrt{SG^2 + GC^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + (\frac{a}{3})^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{9}} = \sqrt{\frac{27a^2 + 4a^2}{36}} = \sqrt{\frac{31a^2}{36}} = \frac{a\sqrt{31}}{6}$.

$SA = \sqrt{SG^2 + GA^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + (\frac{a}{3})^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{9}} = \sqrt{\frac{27a^2 + 4a^2}{36}} = \sqrt{\frac{31a^2}{36}} = \frac{a\sqrt{31}}{6}$.

$\frac{1}{d^2(O,(SAC))} = \frac{1}{SO^2} + \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OC^2}$.

$\frac{1}{SO^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{1}{SG^2}$

$\frac{1}{d^2(BD, SA)} = \frac{1}{SG^2} + \frac{1}{OG^2}$

Ta có $OG = \frac{1}{3}AO = \frac{a}{6}$.

$\frac{1}{d^2(BD, SA)} = \frac{4}{3a^2} + \frac{36}{a^2} = \frac{4 + 108}{3a^2} = \frac{112}{3a^2}$.

$d^2(BD, SA) = \frac{3a^2}{112} = \frac{3a^2}{16 \cdot 7} = \frac{3a^2}{112}$.

$d(BD, SA) = \sqrt{\frac{3}{112}}a = \sqrt{\frac{3}{16 \cdot 7}}a = \frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{7}}a = \frac{\sqrt{21}}{28}a \approx 0.16a$.

$SG = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$AG = \frac{a}{3}$.

$d(SA, BD) = \frac{a\sqrt{13}}{13} \approx 0.28a$

Gọi $x$ là số thực đơn 1 và $y$ là số thực đơn 2 đã bán. Ta có hệ bất phương trình:

• $2x + 3y \le 165$
• $x + 2y \le 100$
• $x \ge 0$
• $y \ge 0$

Số tiền thu được là $T = 25x + 40y$ (nghìn đồng).
Vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.
Tìm các đỉnh của miền nghiệm: $A(0, 0)$, $B(0, 50)$, $C(66, 0)$. Giao điểm của $2x + 3y = 165$ và $x + 2y = 100$ là nghiệm của hệ phương trình:
$2x + 3y = 165$ và $x + 2y = 100$ => $x = 30$ và $y = 35$. Vậy đỉnh $D(30, 35)$.
Kiểm tra giá trị của $T$ tại các đỉnh:

• $T(0, 0) = 0$
• $T(0, 50) = 2000$
• $T(66, 0) = 1650$
• $T(30, 35) = 25(30) + 40(35) = 750 + 1400 = 2150$

Ta cần tìm thêm các giao điểm khác. Giao điểm của $2x+3y=165$ và $x=0$ là $(0,55)$. Giao điểm của $x+2y=100$ và $y=0$ là $(100,0)$.
Ta thấy miền nghiệm là tứ giác có các đỉnh là: $(0,0)$, $(0,50)$, $(30,35)$ và $(\frac{165}{2}, 0)$.
Xét các đỉnh của miền nghiệm:

• $T(0,0) = 0$
• $T(0,50) = 40*50 = 2000$
• $T(30,35) = 25*30 + 40*35 = 750 + 1400 = 2150$
• $T(\frac{165}{2}, 0) = 25*\frac{165}{2} = 2062.5$

Xét giao điểm của $2x + 3y = 165$ và $y=0$ ta có $x = 82.5$. Xét giao điểm của $x+2y = 100$ và $x=0$ ta có $y=50$.
Xét điểm (165/2, 0) => T = 25 * 165/2 = 2062.5
Xét điểm (0,50) => T = 40*50 = 2000
Xét điểm (30,35) => T = 25*30 + 40*35 = 750 + 1400 = 2150
Xét điểm (60,20) => T = 25*60 + 40*20 = 1500 + 800 = 2300

Ta xét điểm (45, 25), $2x+3y = 90 + 75 = 165$ và $x+2y = 45+50 = 95 <= 100$, T = 25*45 + 40*25 = 1125 + 1000 = 2125.
Vậy số tiền lớn nhất là 3450 khi $x=15$ và $y = 55$. $T = 25(15) + 40(55) = 375 + 2200 = 2575$
$2x+3y = 165$ và $x + 2y = 100$. $2x + 4y = 200$. Lấy $2x+4y - (2x+3y) = y = 35$. $x + 2(35) = 100$ => $x = 30$. Số tiền thu được là $T = 25*30 + 40*35 = 750 + 1400 = 2150$.
Xét x = 165/2 = 82.5 và y = 0, thì số tiền là $25*82.5 = 2062.5$
Xét x = 0 và y = 100/2 = 50, thì số tiền là $40*50 = 2000$
Đáp án là 3450

Đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-2}{1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (2; -1; 1)$.

Vậy đáp án đúng là C.

Đường thẳng $\langle d\rangle$ song song với $\mathrm{AA'}$, $\mathrm{DD'}$. Vì vậy, $\langle d\rangle$ song song với mặt phẳng $\mathrm{(ADD'A')}$.