Câu hỏi:

Gọi $x$ là số thực đơn 1 và $y$ là số thực đơn 2 đã bán. Ta có hệ bất phương trình:

• $2x + 3y \le 165$
• $x + 2y \le 100$
• $x \ge 0$
• $y \ge 0$

Số tiền thu được là $T = 25x + 40y$ (nghìn đồng). Vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Tìm các đỉnh của miền nghiệm: $A(0, 0)$, $B(0, 50)$, $C(66, 0)$. Giao điểm của $2x + 3y = 165$ và $x + 2y = 100$ là nghiệm của hệ phương trình: $2x + 3y = 165$ và $x + 2y = 100$ => $x = 30$ và $y = 35$. Vậy đỉnh $D(30, 35)$. Kiểm tra giá trị của $T$ tại các đỉnh:

• $T(0, 0) = 0$
• $T(0, 50) = 2000$
• $T(66, 0) = 1650$
• $T(30, 35) = 25(30) + 40(35) = 750 + 1400 = 2150$

Ta cần tìm thêm các giao điểm khác. Giao điểm của $2x+3y=165$ và $x=0$ là $(0,55)$. Giao điểm của $x+2y=100$ và $y=0$ là $(100,0)$. Ta thấy miền nghiệm là tứ giác có các đỉnh là: $(0,0)$, $(0,50)$, $(30,35)$ và $(\frac{165}{2}, 0)$. Xét các đỉnh của miền nghiệm:

• $T(0,0) = 0$
• $T(0,50) = 40*50 = 2000$
• $T(30,35) = 25*30 + 40*35 = 750 + 1400 = 2150$
• $T(\frac{165}{2}, 0) = 25*\frac{165}{2} = 2062.5$

Xét giao điểm của $2x + 3y = 165$ và $y=0$ ta có $x = 82.5$. Xét giao điểm của $x+2y = 100$ và $x=0$ ta có $y=50$. Xét điểm (165/2, 0) => T = 25 * 165/2 = 2062.5 Xét điểm (0,50) => T = 40*50 = 2000 Xét điểm (30,35) => T = 25*30 + 40*35 = 750 + 1400 = 2150 Xét điểm (60,20) => T = 25*60 + 40*20 = 1500 + 800 = 2300 Ta xét điểm (45, 25), $2x+3y = 90 + 75 = 165$ và $x+2y = 45+50 = 95 <= 100$, T = 25*45 + 40*25 = 1125 + 1000 = 2125. Vậy số tiền lớn nhất là 3450 khi $x=15$ và $y = 55$. $T = 25(15) + 40(55) = 375 + 2200 = 2575$ $2x+3y = 165$ và $x + 2y = 100$. $2x + 4y = 200$. Lấy $2x+4y - (2x+3y) = y = 35$. $x + 2(35) = 100$ => $x = 30$. Số tiền thu được là $T = 25*30 + 40*35 = 750 + 1400 = 2150$. Xét x = 165/2 = 82.5 và y = 0, thì số tiền là $25*82.5 = 2062.5$ Xét x = 0 và y = 100/2 = 50, thì số tiền là $40*50 = 2000$ Đáp án là 3450