Câu hỏi:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by < c$, $ax + by \leq c$, $ax + by > c$, hoặc $ax + by \geq c$, với $a$, $b$, và $c$ là các số thực và $a$ và $b$ không đồng thời bằng 0.

• A. $x^2 < 3x - 7y$ không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có $x^2$.
• B. $x + 3y^2 \geq 0$ không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có $y^2$.
• C. $-2^2x + y \leq 4$ tương đương $-4x + y \leq 4$, đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
• D. $0x - 0y \leq 5$ tương đương $0 \leq 5$, đây không phải là bất phương trình hai ẩn.

Vậy đáp án là C.

Ta biến đổi bất phương trình đã cho như sau:
$3x - y > 7(x - 4y) + 1$
$3x - y > 7x - 28y + 1$
$0 > 4x - 27y + 1$
$4x - 27y + 1 < 0$
Nhân cả hai vế với -1:
$-(4x - 27y + 1) > 0$
$-4x + 27y - 1 > 0$
Vậy không có đáp án nào đúng. Tuy nhiên, nếu đề bài yêu cầu tìm bất phương trình tương đương sau khi biến đổi đến bước $4x - 27y + 1 < 0$, ta có thể nhân cả hai vế với -1 để được $-4x + 27y - 1 > 0$, điều này không có trong các đáp án. Kiểm tra lại các bước biến đổi:
$3x - y > 7x - 28y + 1$
$3x - 7x - y + 28y > 1$
$-4x + 27y > 1$
$-4x + 27y - 1 > 0$
Nhân cả 2 vế với -1: $4x - 27y + 1 < 0$. Vậy không có đáp án nào phù hợp.
Tuy nhiên, nếu đề bài hỏi bất phương trình $4x - 27y + 1 > 0$ thì nó tương đương với việc lấy bất phương trình $3x – y > 7(x – 4y) + 1$, chuyển vế và đổi dấu. Do đó đáp án A là đáp án gần đúng nhất. Dù sao thì đáp án A vẫn sai vì bất phương trình gốc tương đương với $4x - 27y + 1 < 0$ mà không phải $4x - 27y + 1 > 0$.

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by < c$, $ax + by > c$, $ax + by \le c$, hoặc $ax + by \ge c$, trong đó $a$, $b$, và $c$ là các số thực và $a$ và $b$ không đồng thời bằng 0.

• A: $x^2 + y > 0$ không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có $x^2$.
• B: $x^2 + 3y^2 = 2$ là một phương trình, không phải bất phương trình và có bậc 2.
• C: $–x + y^3 \le 0$ không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có $y^3$.
• D: $x – y < 1$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $F = -x + y$, ta cần tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho và xác định các đỉnh của miền nghiệm này.

• $-2x + y \ge 2$
• $y - x \le 4$
• $x + 2y \ge 5$

Sau khi vẽ miền nghiệm, ta tìm được các giao điểm (đỉnh) của miền nghiệm.
Ta có các đỉnh của miền nghiệm là: $A(1, 4), B(1, 3), C(-1, 0)$
Tính giá trị của $F = -x + y$ tại các đỉnh:

• $F(A) = -1 + 4 = 3$
• $F(B) = -1 + 3 = 2$
• $F(C) = -(-1) + 0 = 1$

Tuy nhiên, điểm C không thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ, vì vậy ta xét các giao điểm khác của các đường thẳng.
Giao điểm của $-2x+y=2$ và $y-x=4$ là $(-2,-2)$ không thỏa mãn $x+2y \ge 5$
Giao điểm của $-2x+y=2$ và $x+2y=5$ là $(\frac{1}{5},\frac{12}{5})$. $F(\frac{1}{5},\frac{12}{5})= \frac{11}{5} = 2.2$
Giao điểm của $y-x=4$ và $x+2y=5$ là $(-1,3)$. $F(-1,3) = -(-1) + 3 = 4$ Ta thấy giá trị nhỏ nhất của F là 2 tại điểm B (1,3). Do đó, $F_{min} = 2$.

Bất phương trình $x + y \leq 2$ có vô số nghiệm. Ví dụ, (0, 0), (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) đều là nghiệm của bất phương trình này. Do đó, khẳng định C là đúng.