Câu hỏi:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB'}) = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'}) = \frac{1}{2} (2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'}) = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA'} \\= \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA'} = \vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c}\end{array}\).

Vậy \(\overline{AM} = \vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}\).

Đáp án đúng là D.

a) Thay \(t = 2\) vào hàm số \(P(t)\):

\(P(2) = -(2)^3 + 12(2)^2 + 60(2) - 50 = -8 + 48 + 120 - 50 = 110\) (tỷ đồng).

Đáp án đúng là Đúng.

b) Tốc độ tăng trưởng lợi nhuận là đạo hàm bậc nhất của hàm số \(P(t)\):

\(P'(t) = (-t^3 + 12t^2 + 60t - 50)' = -3t^2 + 24t + 60\).

Biểu thức trong đề bài ghi \(P'(t) = -3t^2 + 24t + 10\) là sai hệ số tự do.

Đáp án đúng là Sai.

c) Để tìm thời điểm lợi nhuận đạt tối đa, ta xét \(P'(t) = 0\):

\(-3t^2 + 24t + 60 = 0 \Leftrightarrow t^2 - 8t - 20 = 0 \Leftrightarrow (t - 10)(t + 2) = 0\).

Vì \(0 \leq t \leq 12\) nên ta chọn \(t = 10\).

Bảng biến thiên của \(P(t)\) trên \([0; 12]\):

- \(P'(t) > 0\) trên \((0; 10)\) nên hàm số đồng biến.

- \(P'(t) < 0\) trên \((10; 12)\) nên hàm số nghịch biến.

Vậy lợi nhuận đạt cực đại tại \(t = 10\).

Đáp án đúng là Đúng.

d) Tốc độ tăng trưởng lợi nhuận là \(v(t) = P'(t) = -3t^2 + 24t + 60\).

Để tốc độ tăng trưởng lớn nhất, ta xét đạo hàm của \(v(t)\):

\(v'(t) = P''(t) = -6t + 24\).

\(v'(t) = 0 \Leftrightarrow -6t + 24 = 0 \Leftrightarrow t = 4\).

Vì \(v(t)\) là hàm bậc hai có hệ số \(a = -3 < 0\) nên đồ thị là parabol quay bề lõm xuống dưới, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh \(t = 4\).

Đáp án đúng là Đúng.

a) Dựa vào đồ thị, hình phẳng (A) giới hạn bởi đồ thị \(y = f'(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = -1\), \(x = 1\). Vì phần đồ thị (A) nằm phía trên trục hoành nên:

\(S_{(A)} = \int_{-1}^{1} f'(x) dx = \frac{64}{3}\).

Phát biểu ghi giá trị \(\frac{253}{3}\) là sai.

Đáp án đúng là Sai.

b) Theo định lý cơ bản của giải tích:

\(\int_{-1}^{1} f'(x) dx = f(1) - f(-1)\)

\(\Rightarrow \frac{64}{3} = f(1) - \left(-\frac{35}{3}\right)\)

\(\Rightarrow f(1) = \frac{64}{3} - \frac{35}{3} = \frac{29}{3}\).

Đáp án đúng là Đúng.

c) Từ đồ thị \(y = f'(x)\), ta thấy đạo hàm có 3 nghiệm là \(x = -1, x = 1, x = 4\).

Dạng của đạo hàm: \(f'(x) = k(x + 1)(x - 1)(x - 4) = k(x^3 - 4x^2 - x + 4)\).

Ta có \(\int_{-1}^{1} f'(x) dx = k \int_{-1}^{1} (x^3 - 4x^2 - x + 4) dx = k \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 4x \right]_{-1}^{1} = \frac{16}{3}k\).

Mà diện tích (A) bằng \(\frac{64}{3}\), suy ra \(\frac{16}{3}k = \frac{64}{3} \Rightarrow k = 4\).

Vậy \(f'(x) = 4x^3 - 16x^2 - 4x + 16\).

Nguyên hàm của \(f'(x)\) là \(f(x) = x^4 - \frac{16}{3}x^3 - 2x^2 + 16x + C\).

Thay \(f(1) = \frac{29}{3}\) vào: \(1 - \frac{16}{3} - 2 + 16 + C = \frac{29}{3} \Rightarrow \frac{29}{3} + C = \frac{29}{3} \Rightarrow C = 0\).

Công thức đúng phải là \(f(x) = x^4 - \frac{16}{3}x^3 - 2x^2 + 16x\).

Đáp án đúng là Sai.

d) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(f(x)\) và \(g(x)\):

\(x^4 - \frac{16}{3}x^3 - 2x^2 + 16x = -2x^2 + 16x \Leftrightarrow x^4 - \frac{16}{3}x^3 = 0 \Leftrightarrow x^3(x - \frac{16}{3}) = 0\).

Nghiệm là \(x = 0\) và \(x = \frac{16}{3}\).

Diện tích hình phẳng: \(S = \int_{0}^{16/3} |x^4 - \frac{16}{3}x^3| dx \approx 216\).

Đáp án đúng là Đúng.

a) Quan sát phương trình đường thẳng \(d\):

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec{u}_d = (1; -1; 2)\).

Phát biểu ghi vectơ \(\vec{u} = (1; 1; 2)\) là sai dấu ở tung độ.

Đáp án đúng là Sai.

b) Phương trình mặt cầu tâm \(A(a; b; c)\) và bán kính \(R\) có dạng:

\((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\).

Thay \(A(0; 1; 3)\) và \(R = 5\), ta được:

\((x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 5^2 \Leftrightarrow x^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 25\).

Đáp án đúng là Đúng.

c) Thực hiện tính toán tọa độ điểm \(H\):

Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số: \(\begin{cases} x = 1 + t \\ y = -t \\ z = 2t \end{cases}\).

Vì \(H \in d\) nên \(H(1 + t; -t; 2t)\). Ta có \(\overrightarrow{AH} = (1 + t; -t - 1; 2t - 3)\).

Vì \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(d\) nên \(\overrightarrow{AH} \cdot \vec{u}_d = 0\):

\(1(1 + t) - 1(-t - 1) + 2(2t - 3) = 0\)

\(\Leftrightarrow 1 + t + t + 1 + 4t - 6 = 0 \Leftrightarrow 6t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{3}\).

Hoành độ điểm \(H\) là \(x_H = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}\).

Phát biểu ghi hoành độ bằng \(-\frac{2}{3}\) là sai.

Đáp án đúng là Sai.

d) Thực hiện tính toán độ dài đoạn đường:

Khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(d\) là độ dài đoạn \(AH\).

Với \(t = \frac{2}{3}\), ta có \(\overrightarrow{AH} = (\frac{5}{3}; -\frac{5}{3}; -\frac{5}{3})\).

\(h = AH = \sqrt{(\frac{5}{3})^2 + (-\frac{5}{3})^2 + (-\frac{5}{3})^2} = \sqrt{\frac{75}{9}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2,89\,\text{km}\).

Vì \(h < R\) (\(2,89 < 5\)) nên đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm \(M, N\).

Độ dài đoạn đường nằm trong vùng phủ sóng là:

\(MN = 2\sqrt{R^2 - h^2} = 2\sqrt{5^2 - (\frac{5\sqrt{3}}{3})^2} = 2\sqrt{25 - \frac{25}{3}} = 2\sqrt{\frac{50}{3}} = \frac{20\sqrt{6}}{3} \approx 8,16\,\text{km}\).

Đáp án đúng là Đúng.

Gọi các biến cố:

- \(A\): "Ông Cường nghe được chuông báo thức". Ta có \(P(A) = 0,95\).

- \(\overline{A}\): "Ông Cường không nghe được chuông báo thức".

- \(B\): "Ông Cường đến đúng giờ".

- \(\overline{B}\): "Ông Cường đến trễ hẹn".

a) Xác suất ông Cường không nghe được chuông báo thức là:

\(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,95 = 0,05\).

Đáp án đúng là Đúng.

b) Nếu ông Cường nghe được chuông báo thức, xác suất ông ấy đến đúng giờ là \(P(B|A) = 0,9\).

Xác suất ông ấy đến trễ khi nghe được chuông là:

\(P(\overline{B}|A) = 1 - P(B|A) = 1 - 0,9 = 0,1\).

Đáp án đúng là Đúng.

c) Nếu ông Cường không nghe được chuông báo thức, xác suất ông ấy đến đúng giờ là \(P(B|\overline{A}) = 0,7\).

Xác suất ông ấy đến trễ khi không nghe được chuông là:

\(P(\overline{B}|\overline{A}) = 1 - P(B|\overline{A}) = 1 - 0,7 = 0,3\).

Đổi ra phần trăm là \(30\%\). Phát biểu ghi \(25\%\) là sai.

Đáp án đúng là Sai.

d) Xác suất ông Cường đến đúng giờ được tính theo công thức xác suất đầy đủ:

\(P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A})\)

\(P(B) = 0,95 \cdot 0,9 + 0,05 \cdot 0,7\)

\(P(B) = 0,855 + 0,035 = 0,89\).

Đổi ra phần trăm là \(89\%\). Vì \(89\% < 92\%\) nên phát biểu "lớn hơn 92%" là sai.

Đáp án đúng là Sai.