Câu hỏi:

Dựa vào cấu trúc hình vẽ, các hình vuông chung cạnh với nhau tạo thành một vòng khép kín: \(H_1\) chung cạnh với \(H_2\) và \(H_4\); \(H_3\) chung cạnh với \(H_2\) và \(H_4\). Hai cặp hình vuông đối đỉnh \((H_1, H_3)\) và \((H_2, H_4)\) không có cạnh chung.

Ta chia làm 2 trường hợp dựa trên màu sắc của cặp đối đỉnh \(H_1\) và \(H_3\):

Trường hợp 1: \(H_1\) và \(H_3\) tô cùng một màu

Có 5 cách chọn màu cho \(H_1\).

Có 1 cách chọn màu cho \(H_3\) (phải giống \(H_1\)).

Khi đó, \(H_2\) và \(H_4\) đều chung cạnh với \(H_1, H_3\) (lúc này cùng 1 màu), nên \(H_2\) có 4 cách chọn (khác màu \(H_1\)) và \(H_4\) có 4 cách chọn (khác màu \(H_1\)).

Số cách tô: \(5 \times 1 \times 4 \times 4 = 80\) (cách).

Trường hợp 2: \(H_1\) và \(H_3\) tô màu khác nhau

Có 5 cách chọn màu cho \(H_1\).

Có 4 cách chọn màu cho \(H_3\) (khác màu \(H_1\)).

Khi đó, \(H_2\) và \(H_4\) đều chung cạnh với cả \(H_1\) và \(H_3\) (đang mang 2 màu khác nhau), nên \(H_2\) có 3 cách chọn và \(H_4\) có 3 cách chọn.

Số cách tô: \(5 \times 4 \times 3 \times 3 = 180\) (cách).

Tổng số cách tô màu thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

\(80 + 180 = 260\) (cách).

Đáp án đúng là 260.

Đổi đơn vị bán kính \(R = 6\) km = 6000 m. Đổi góc chắn cung \(60^\circ = \frac{\pi}{3}\) rad.

Độ dài cung tròn \(AB\) chính là quãng đường vật di chuyển được: \(S = R.\alpha = 6000.\frac{\pi}{3} = 2000\pi(\mathrm{m})\).

Ta có vận tốc là \(v(t) = \int a(t) \, \mathrm{d}t = \int (10 - 0,5t) \, \mathrm{d}t = 10t - 0,25t^2 + C_1\).

Tại thời điểm \(t = 0\), vận tốc \(v(0) = 200 \, \mathrm{m/s}\) nên \(C_1 = 200\).

Suy ra phương trình vận tốc là \(v(t) = -0,25t^2 + 10t + 200\).

Quãng đường vật đi được là \(s(t) = \int v(t) \, \mathrm{d}t = \int (-0,25t^2 + 10t + 200) \, \mathrm{d}t = -\frac{1}{12} t^3 + 5t^2 + 200t + C_2\).

Tại thời điểm \(t = 0\), \(s(0) = 0\) nên \(C_2 = 0\).

Suy ra phương trình quãng đường là \(s(t) = -\frac{1}{12} t^3 + 5t^2 + 200t\).

Khi vật đến vị trí \(B\), quãng đường đi được bằng độ dài cung \(AB\), ta có phương trình:

\(- \frac {1}{12} t ^ {3} + 5 t ^ {2} + 200 t = 2000\pi \Leftrightarrow t \approx 23,179 \, (\mathrm{giây})\).

Suy ra: \(v(B) \approx -0,25 \cdot (23,179)^2 + 10 \cdot (23,179) + 200 \approx 297 \, (\mathrm{m/s})\).

Đáp án đúng là 297.

Vùng quan sát của camera trên mặt phẳng công trường \(z = -5\) là một hình tròn tâm \(H(t; -2t; -5)\).

Độ cao của camera so với thiết bị là \(h = 45 - (-5) = 50\) (m).

Bán kính vùng quan sát là \(R = h \cdot \tan(60^\circ) = 50\sqrt{3}\) (m).

Để quan sát được cả ba thiết bị, khoảng cách từ \(H\) đến các điểm \(A, B, C\) phải không vượt quá \(R\), tức là \(HA^2, HB^2, HC^2 \leq R^2 = 7\,500\).

\(HA^2 = (t - 3)^2 + (-2t - 4)^2 = 5t^2 + 10t + 25 \leq 7\,500\)

\(HB^2 = (t - 3)^2 + (-2t - 64)^2 = 5t^2 + 250t + 4\,105 \leq 7\,500\)

\(HC^2 = (t - 83)^2 + (-2t - 4)^2 = 5t^2 - 150t + 6\,905 \leq 7\,500\)

Giải hệ bất phương trình trên, ta tìm được tập giá trị của tham số \(t\) thỏa mãn là \(t \in [-3,56; 11,26]\).

Vị trí gắn camera là \(M(t; -2t; 45)\). Khoảng cách từ \(M\) đến \(B(3; 64; -5)\) là:

\(MB = \sqrt{(t - 3)^2 + (-2t - 64)^2 + (45 - (-5))^2} = \sqrt{5t^2 + 250t + 6\,605}\).

Xét hàm số \(f(t) = 5t^2 + 250t + 6\,605\) trên đoạn \([-3,56; 11,26]\), hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại đầu mút \(t \approx -3,56\).

Giá trị khoảng cách nhỏ nhất là: \(MB_{min} = \sqrt{f(-3,56)} \approx 76\) (m).

Đáp án đúng là 76.

Gọi \(A\) là biến cố “Giữa 2 bóng đèn tất kề nhau bất kỳ không có 2 bóng sáng”.

Gọi \(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\) lần lượt là số các bóng đèn sáng trước bóng đèn tất thứ 1, giữa hai bóng đèn tất liền kề và sau bóng tất thứ 4 theo thứ tự từ trái qua phải. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{5} = 22, \\ x_{1} \geq 0, x_{5} \geq 0, x_{i} \neq 2, \forall i = 2, 3, 4. \end{array} \right.\).

 Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{5} = 22, \\ x_{i} \geq 0, \forall i = 1, 2, 3, 4, 5 \end{array} \right.\). Số nghiệm của hệ này chính là số cách chọn 4 bóng đèn để tất từ 26 bóng đèn nên nó bằng \(C_{26}^{4}\).

 Gọi \(A, B, C\) lần lượt là các cách chọn mà \(x_{2} = 2, x_{3} = 2, x_{4} = 2\) thì ta cần tính \(C_{26}^{4} -|A \cup B \cup C|\).

+) Với \(x_{2} = 2\) thì \(\left\{ \begin{array}{l} x_{1} + x_{3} + \ldots + x_{5} = 20 \\ x_{i} \geq 0, \forall i = 1, 3, 4, 5 \end{array} \right.\). Nghiệm của hệ này chính là số cách chọn 3 bóng đèn tất từ 23 bóng đèn (đã loại bóng tất thứ 2 và hai bóng sáng liền sau nó) nên nó bằng \(C_{23}^{3}\).

Vậy \(|A|= C_{23}^{3}\). Tương tự, \(|B|=|C|=|A|= C_{23}^{3}\).

+) Với \(x_{2} = 2, x_{3} = 2\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} x_{1} + x_{4} + x_{5} = 18, \\ x_{i} \geq 0, \forall i = 1, 4, 5 \end{array} \right.\). Lập luận tương tự ta có \(|A \cap B|= C_{20}^{2}\).

Suy ra \(|B \cap C|=|A \cap C|=|A \cap B|= C_{20}^{2}\).

+) Tương tự, \(|A \cap B \cap C|= C_{17}^{1}\). Do đó số cách chọn cần tìm là \(n(A) = C_{26}^{4} - \left(3 \cdot C_{23}^{3} - 3 \cdot C_{20}^{2} + C_{17}^{1}\right)\).

Ta có \(P(A) = \frac{C_{26}^{4} - \left(3 \cdot C_{23}^{3} - 3 \cdot C_{20}^{2} + C_{17}^{1}\right)}{C_{26}^{4}} = \frac{1019}{1495}\).

\(Leftrightarrow m=1019; n=1495\)

Vậy \(m+n=1019+1495=2514\)

Đáp án đúng là 2514.

Ta có:

Ta có: cỡ mẫu \(n = 30\), \(\overline{x} = \frac{3.2 + 5.5 + 7.7 + 9.16}{30} = \frac{112}{15} \approx 7,5\).

Đáp án đúng là B.