Câu hỏi:

Gọi \(A\) là biến cố “Giữa 2 bóng đèn tất kề nhau bất kỳ không có 2 bóng sáng”.

Gọi \(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\) lần lượt là số các bóng đèn sáng trước bóng đèn tất thứ 1, giữa hai bóng đèn tất liền kề và sau bóng tất thứ 4 theo thứ tự từ trái qua phải. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{5} = 22, \\ x_{1} \geq 0, x_{5} \geq 0, x_{i} \neq 2, \forall i = 2, 3, 4. \end{array} \right.\).

 Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{5} = 22, \\ x_{i} \geq 0, \forall i = 1, 2, 3, 4, 5 \end{array} \right.\). Số nghiệm của hệ này chính là số cách chọn 4 bóng đèn để tất từ 26 bóng đèn nên nó bằng \(C_{26}^{4}\).

 Gọi \(A, B, C\) lần lượt là các cách chọn mà \(x_{2} = 2, x_{3} = 2, x_{4} = 2\) thì ta cần tính \(C_{26}^{4} -|A \cup B \cup C|\).

+) Với \(x_{2} = 2\) thì \(\left\{ \begin{array}{l} x_{1} + x_{3} + \ldots + x_{5} = 20 \\ x_{i} \geq 0, \forall i = 1, 3, 4, 5 \end{array} \right.\). Nghiệm của hệ này chính là số cách chọn 3 bóng đèn tất từ 23 bóng đèn (đã loại bóng tất thứ 2 và hai bóng sáng liền sau nó) nên nó bằng \(C_{23}^{3}\).

Vậy \(|A|= C_{23}^{3}\). Tương tự, \(|B|=|C|=|A|= C_{23}^{3}\).

+) Với \(x_{2} = 2, x_{3} = 2\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} x_{1} + x_{4} + x_{5} = 18, \\ x_{i} \geq 0, \forall i = 1, 4, 5 \end{array} \right.\). Lập luận tương tự ta có \(|A \cap B|= C_{20}^{2}\).

Suy ra \(|B \cap C|=|A \cap C|=|A \cap B|= C_{20}^{2}\).

+) Tương tự, \(|A \cap B \cap C|= C_{17}^{1}\). Do đó số cách chọn cần tìm là \(n(A) = C_{26}^{4} - \left(3 \cdot C_{23}^{3} - 3 \cdot C_{20}^{2} + C_{17}^{1}\right)\).

Ta có \(P(A) = \frac{C_{26}^{4} - \left(3 \cdot C_{23}^{3} - 3 \cdot C_{20}^{2} + C_{17}^{1}\right)}{C_{26}^{4}} = \frac{1019}{1495}\).

\(Leftrightarrow m=1019; n=1495\)

Vậy \(m+n=1019+1495=2514\)

Đáp án đúng là 2514.